Metamath Proof Explorer

Theorem cdleme26ee

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113, 3rd paragraph, 4th line on p. 115. F , N , O represent f(z), f_z(s), f_z(t) respectively. When t \/ v = p \/ q, f_z(s) <_ f_z(t) \/ v. TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 2-Feb-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdleme26.b 
|- B = ( Base ` K )
cdleme26.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdleme26.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdleme26.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdleme26.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdleme26.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdleme26e.u 
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
cdleme26e.f 
|- F = ( ( z .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) ) )
cdleme26e.n 
|- N = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( S .\/ z ) ./\ W ) ) )
cdleme26e.o 
|- O = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) )
cdleme26e.i 
|- I = ( iota_ u e. B A. z e. A ( ( -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) -> u = N ) )
cdleme26e.e 
|- E = ( iota_ u e. B A. z e. A ( ( -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) -> u = O ) )
Assertion cdleme26ee 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) ) -> I .<_ ( E .\/ V ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme26.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdleme26.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdleme26.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdleme26.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 cdleme26.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdleme26.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 cdleme26e.u 
 |-  U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
8 cdleme26e.f 
 |-  F = ( ( z .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) ) )
9 cdleme26e.n 
 |-  N = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( S .\/ z ) ./\ W ) ) )
10 cdleme26e.o 
 |-  O = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) )
11 cdleme26e.i 
 |-  I = ( iota_ u e. B A. z e. A ( ( -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) -> u = N ) )
12 cdleme26e.e 
 |-  E = ( iota_ u e. B A. z e. A ( ( -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) -> u = O ) )
13 simp11l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) ) -> K e. HL )
14 simp11r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) ) -> W e. H )
15 simp12 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
16 simp13 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
17 simp3l1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) ) -> P =/= Q )
18 2 3 5 6 cdlemb2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q ) -> E. z e. A ( -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) )
19 13 14 15 16 17 18 syl221anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) ) -> E. z e. A ( -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) )
20 nfv 
 |-  F/ z ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) )
21 nfra1 
 |-  F/ z A. z e. A ( ( -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) -> u = N )
22 nfcv 
 |-  F/_ z B
23 21 22 nfriota 
 |-  F/_ z ( iota_ u e. B A. z e. A ( ( -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) -> u = N ) )
24 11 23 nfcxfr 
 |-  F/_ z I
25 nfcv 
 |-  F/_ z .<_
26 nfra1 
 |-  F/ z A. z e. A ( ( -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) -> u = O )
27 26 22 nfriota 
 |-  F/_ z ( iota_ u e. B A. z e. A ( ( -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) -> u = O ) )
28 12 27 nfcxfr 
 |-  F/_ z E
29 nfcv 
 |-  F/_ z .\/
30 nfcv 
 |-  F/_ z V
31 28 29 30 nfov 
 |-  F/_ z ( E .\/ V )
32 24 25 31 nfbr 
 |-  F/ z I .<_ ( E .\/ V )
33 simp111 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) ) /\ z e. A /\ ( -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
34 simp112 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) ) /\ z e. A /\ ( -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
35 simp113 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) ) /\ z e. A /\ ( -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
36 simp121 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) ) /\ z e. A /\ ( -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( S e. A /\ -. S .<_ W ) )
37 simp122 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) ) /\ z e. A /\ ( -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( T e. A /\ -. T .<_ W ) )
38 simp123 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) ) /\ z e. A /\ ( -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( V e. A /\ V .<_ W ) )
39 simp13l 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) ) /\ z e. A /\ ( -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( P =/= Q /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) )
40 simp13r 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) ) /\ z e. A /\ ( -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) )
41 simp3r 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) ) /\ z e. A /\ ( -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> -. z .<_ ( P .\/ Q ) )
42 40 41 jca 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) ) /\ z e. A /\ ( -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) )
43 simp2 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) ) /\ z e. A /\ ( -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> z e. A )
44 simp3l 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) ) /\ z e. A /\ ( -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> -. z .<_ W )
45 43 44 jca 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) ) /\ z e. A /\ ( -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( z e. A /\ -. z .<_ W ) )
46 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 cdleme26e 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) -> I .<_ ( E .\/ V ) )
47 33 34 35 36 37 38 39 42 45 46 syl333anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) ) /\ z e. A /\ ( -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> I .<_ ( E .\/ V ) )
48 47 3exp 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) ) -> ( z e. A -> ( ( -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) -> I .<_ ( E .\/ V ) ) ) )
49 20 32 48 rexlimd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) ) -> ( E. z e. A ( -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) -> I .<_ ( E .\/ V ) ) )
50 19 49 mpd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) ) -> I .<_ ( E .\/ V ) )