Metamath Proof Explorer

Theorem cdleme40m

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. Show that f(x) is one-to-one on P .\/ Q line. TODO: FIX COMMENT Use proof idea from cdleme32sn1awN . (Contributed by NM, 18-Mar-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdleme40.b 
|- B = ( Base ` K )
cdleme40.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdleme40.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdleme40.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdleme40.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdleme40.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdleme40.u 
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
cdleme40.e 
|- E = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdleme40.g 
|- G = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( E .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdleme40.i 
|- I = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = G ) )
cdleme40.n 
|- N = if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , I , D )
cdleme40a1.y 
|- Y = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( E .\/ ( ( R .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdleme40a1.c 
|- C = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = Y ) )
cdleme40.t 
|- T = ( ( v .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ v ) ./\ W ) ) )
cdleme40.f 
|- F = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( T .\/ ( ( S .\/ v ) ./\ W ) ) )
Assertion cdleme40m 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R =/= S ) /\ ( v e. A /\ -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> [_ R / s ]_ N =/= F )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme40.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdleme40.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdleme40.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdleme40.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 cdleme40.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdleme40.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 cdleme40.u 
 |-  U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
8 cdleme40.e 
 |-  E = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
9 cdleme40.g 
 |-  G = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( E .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
10 cdleme40.i 
 |-  I = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = G ) )
11 cdleme40.n 
 |-  N = if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , I , D )
12 cdleme40a1.y 
 |-  Y = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( E .\/ ( ( R .\/ t ) ./\ W ) ) )
13 cdleme40a1.c 
 |-  C = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = Y ) )
14 cdleme40.t 
 |-  T = ( ( v .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ v ) ./\ W ) ) )
15 cdleme40.f 
 |-  F = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( T .\/ ( ( S .\/ v ) ./\ W ) ) )
16 simp22l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R =/= S ) /\ ( v e. A /\ -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> R e. A )
17 simp3l1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R =/= S ) /\ ( v e. A /\ -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> R .<_ ( P .\/ Q ) )
18 9 10 11 12 13 cdleme31sn1c 
 |-  ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> [_ R / s ]_ N = C )
19 16 17 18 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R =/= S ) /\ ( v e. A /\ -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> [_ R / s ]_ N = C )
20 1 fvexi 
 |-  B e. _V
21 nfv 
 |-  F/ t ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R =/= S ) /\ ( v e. A /\ -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( P .\/ Q ) ) ) )
22 nfra1 
 |-  F/ t A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = Y )
23 nfcv 
 |-  F/_ t B
24 22 23 nfriota 
 |-  F/_ t ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = Y ) )
25 13 24 nfcxfr 
 |-  F/_ t C
26 nfcv 
 |-  F/_ t F
27 25 26 nfne 
 |-  F/ t C =/= F
28 27 a1i 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R =/= S ) /\ ( v e. A /\ -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> F/ t C =/= F )
29 13 a1i 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R =/= S ) /\ ( v e. A /\ -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> C = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = Y ) ) )
30 neeq1 
 |-  ( Y = C -> ( Y =/= F <-> C =/= F ) )
31 30 adantl 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R =/= S ) /\ ( v e. A /\ -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) /\ Y = C ) -> ( Y =/= F <-> C =/= F ) )
32 simpl1 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R =/= S ) /\ ( v e. A /\ -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) /\ ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) )
33 simpl2 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R =/= S ) /\ ( v e. A /\ -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) /\ ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) )
34 simpl3l 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R =/= S ) /\ ( v e. A /\ -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) /\ ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R =/= S ) )
35 simprl 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R =/= S ) /\ ( v e. A /\ -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) /\ ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> t e. A )
36 simprrl 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R =/= S ) /\ ( v e. A /\ -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) /\ ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> -. t .<_ W )
37 simprrr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R =/= S ) /\ ( v e. A /\ -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) /\ ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> -. t .<_ ( P .\/ Q ) )
38 35 36 37 jca31 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R =/= S ) /\ ( v e. A /\ -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) /\ ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) )
39 simp3r1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R =/= S ) /\ ( v e. A /\ -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> v e. A )
40 simp3r2 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R =/= S ) /\ ( v e. A /\ -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> -. v .<_ W )
41 simp3r3 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R =/= S ) /\ ( v e. A /\ -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> -. v .<_ ( P .\/ Q ) )
42 39 40 41 jca31 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R =/= S ) /\ ( v e. A /\ -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( ( v e. A /\ -. v .<_ W ) /\ -. v .<_ ( P .\/ Q ) ) )
43 42 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R =/= S ) /\ ( v e. A /\ -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) /\ ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( ( v e. A /\ -. v .<_ W ) /\ -. v .<_ ( P .\/ Q ) ) )
44 2 3 4 5 6 7 8 12 14 15 cdleme39n 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R =/= S ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( v e. A /\ -. v .<_ W ) /\ -. v .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> Y =/= F )
45 32 33 34 38 43 44 syl113anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R =/= S ) /\ ( v e. A /\ -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) /\ ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> Y =/= F )
46 45 ex 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R =/= S ) /\ ( v e. A /\ -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> Y =/= F ) )
47 simp1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R =/= S ) /\ ( v e. A /\ -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) )
48 simp22r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R =/= S ) /\ ( v e. A /\ -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> -. R .<_ W )
49 simp21 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R =/= S ) /\ ( v e. A /\ -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> P =/= Q )
50 1 2 3 4 5 6 7 8 12 13 cdleme25cl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> C e. B )
51 47 16 48 49 17 50 syl122anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R =/= S ) /\ ( v e. A /\ -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> C e. B )
52 simp11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R =/= S ) /\ ( v e. A /\ -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
53 simp12 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R =/= S ) /\ ( v e. A /\ -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
54 simp13 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R =/= S ) /\ ( v e. A /\ -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
55 2 3 5 6 cdlemb2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q ) -> E. t e. A ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) )
56 52 53 54 49 55 syl121anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R =/= S ) /\ ( v e. A /\ -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> E. t e. A ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) )
57 21 28 29 31 46 51 56 riotasv3d 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R =/= S ) /\ ( v e. A /\ -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) /\ B e. _V ) -> C =/= F )
58 20 57 mpan2 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R =/= S ) /\ ( v e. A /\ -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> C =/= F )
59 19 58 eqnetrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R =/= S ) /\ ( v e. A /\ -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> [_ R / s ]_ N =/= F )