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Theorem cdleme42ke

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. Remove R =/= S condition. TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 2-Apr-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdleme41.b
|- B = ( Base ` K )
cdleme41.l
|- .<_ = ( le ` K )
cdleme41.j
|- .\/ = ( join ` K )
cdleme41.m
|- ./\ = ( meet ` K )
cdleme41.a
|- A = ( Atoms ` K )
cdleme41.h
|- H = ( LHyp ` K )
cdleme41.u
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
cdleme41.d
|- D = ( ( s .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ s ) ./\ W ) ) )
cdleme41.e
|- E = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdleme41.g
|- G = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( E .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdleme41.i
|- I = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = G ) )
cdleme41.n
|- N = if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , I , D )
cdleme41.o
|- O = ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( N .\/ ( x ./\ W ) ) ) )
cdleme41.f
|- F = ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , O , x ) )
cdleme34e.v
|- V = ( ( R .\/ S ) ./\ W )
Assertion cdleme42ke
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) ) -> ( ( F ` R ) .\/ ( F ` S ) ) = ( ( F ` R ) .\/ V ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme41.b
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdleme41.l
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdleme41.j
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdleme41.m
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 cdleme41.a
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdleme41.h
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 cdleme41.u
 |-  U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
8 cdleme41.d
 |-  D = ( ( s .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ s ) ./\ W ) ) )
9 cdleme41.e
 |-  E = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
10 cdleme41.g
 |-  G = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( E .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
11 cdleme41.i
 |-  I = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = G ) )
12 cdleme41.n
 |-  N = if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , I , D )
13 cdleme41.o
 |-  O = ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( N .\/ ( x ./\ W ) ) ) )
14 cdleme41.f
 |-  F = ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , O , x ) )
15 cdleme34e.v
 |-  V = ( ( R .\/ S ) ./\ W )
16 simpl1l
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) ) -> K e. HL )
17 simpr2
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) ) -> ( R e. A /\ -. R .<_ W ) )
18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 cdleme32fvaw
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( ( F ` R ) e. A /\ -. ( F ` R ) .<_ W ) )
19 17 18 syldan
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) ) -> ( ( F ` R ) e. A /\ -. ( F ` R ) .<_ W ) )
20 19 simpld
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) ) -> ( F ` R ) e. A )
21 3 5 hlatjidm
 |-  ( ( K e. HL /\ ( F ` R ) e. A ) -> ( ( F ` R ) .\/ ( F ` R ) ) = ( F ` R ) )
22 16 20 21 syl2anc
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) ) -> ( ( F ` R ) .\/ ( F ` R ) ) = ( F ` R ) )
23 fveq2
 |-  ( R = S -> ( F ` R ) = ( F ` S ) )
24 23 oveq2d
 |-  ( R = S -> ( ( F ` R ) .\/ ( F ` R ) ) = ( ( F ` R ) .\/ ( F ` S ) ) )
25 22 24 sylan9req
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) ) /\ R = S ) -> ( F ` R ) = ( ( F ` R ) .\/ ( F ` S ) ) )
26 simpr2l
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) ) -> R e. A )
27 3 5 hlatjidm
 |-  ( ( K e. HL /\ R e. A ) -> ( R .\/ R ) = R )
28 16 26 27 syl2anc
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) ) -> ( R .\/ R ) = R )
29 28 oveq1d
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) ) -> ( ( R .\/ R ) ./\ W ) = ( R ./\ W ) )
30 simpl1
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
31 eqid
 |-  ( 0. ` K ) = ( 0. ` K )
32 2 4 31 5 6 lhpmat
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( R ./\ W ) = ( 0. ` K ) )
33 30 17 32 syl2anc
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) ) -> ( R ./\ W ) = ( 0. ` K ) )
34 29 33 eqtrd
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) ) -> ( ( R .\/ R ) ./\ W ) = ( 0. ` K ) )
35 34 oveq2d
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) ) -> ( ( F ` R ) .\/ ( ( R .\/ R ) ./\ W ) ) = ( ( F ` R ) .\/ ( 0. ` K ) ) )
36 hlol
 |-  ( K e. HL -> K e. OL )
37 16 36 syl
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) ) -> K e. OL )
38 1 5 atbase
 |-  ( ( F ` R ) e. A -> ( F ` R ) e. B )
39 20 38 syl
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) ) -> ( F ` R ) e. B )
40 1 3 31 olj01
 |-  ( ( K e. OL /\ ( F ` R ) e. B ) -> ( ( F ` R ) .\/ ( 0. ` K ) ) = ( F ` R ) )
41 37 39 40 syl2anc
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) ) -> ( ( F ` R ) .\/ ( 0. ` K ) ) = ( F ` R ) )
42 35 41 eqtrd
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) ) -> ( ( F ` R ) .\/ ( ( R .\/ R ) ./\ W ) ) = ( F ` R ) )
43 oveq2
 |-  ( R = S -> ( R .\/ R ) = ( R .\/ S ) )
44 43 oveq1d
 |-  ( R = S -> ( ( R .\/ R ) ./\ W ) = ( ( R .\/ S ) ./\ W ) )
45 44 15 eqtr4di
 |-  ( R = S -> ( ( R .\/ R ) ./\ W ) = V )
46 45 oveq2d
 |-  ( R = S -> ( ( F ` R ) .\/ ( ( R .\/ R ) ./\ W ) ) = ( ( F ` R ) .\/ V ) )
47 42 46 sylan9req
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) ) /\ R = S ) -> ( F ` R ) = ( ( F ` R ) .\/ V ) )
48 25 47 eqtr3d
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) ) /\ R = S ) -> ( ( F ` R ) .\/ ( F ` S ) ) = ( ( F ` R ) .\/ V ) )
49 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 cdleme42k
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ R =/= S ) -> ( ( F ` R ) .\/ ( F ` S ) ) = ( ( F ` R ) .\/ V ) )
50 49 3expa
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) ) /\ R =/= S ) -> ( ( F ` R ) .\/ ( F ` S ) ) = ( ( F ` R ) .\/ V ) )
51 48 50 pm2.61dane
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) ) -> ( ( F ` R ) .\/ ( F ` S ) ) = ( ( F ` R ) .\/ V ) )