Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdlemg12.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
cdlemg12.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
3 |
|
cdlemg12.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
4 |
|
cdlemg12.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
5 |
|
cdlemg12.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
6 |
|
cdlemg12.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
7 |
|
cdlemg12.u |
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) |
8 |
|
simp1l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ ( P .\/ U ) =/= ( ( G ` P ) .\/ U ) ) ) -> K e. HL ) |
9 |
|
simp21l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ ( P .\/ U ) =/= ( ( G ` P ) .\/ U ) ) ) -> P e. A ) |
10 |
|
simp1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ ( P .\/ U ) =/= ( ( G ` P ) .\/ U ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
11 |
|
simp31 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ ( P .\/ U ) =/= ( ( G ` P ) .\/ U ) ) ) -> G e. T ) |
12 |
1 4 5 6
|
ltrnat |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ P e. A ) -> ( G ` P ) e. A ) |
13 |
10 11 9 12
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ ( P .\/ U ) =/= ( ( G ` P ) .\/ U ) ) ) -> ( G ` P ) e. A ) |
14 |
|
simp1r |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ ( P .\/ U ) =/= ( ( G ` P ) .\/ U ) ) ) -> W e. H ) |
15 |
|
simp21 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ ( P .\/ U ) =/= ( ( G ` P ) .\/ U ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) |
16 |
|
simp22l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ ( P .\/ U ) =/= ( ( G ` P ) .\/ U ) ) ) -> Q e. A ) |
17 |
|
simp32 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ ( P .\/ U ) =/= ( ( G ` P ) .\/ U ) ) ) -> P =/= Q ) |
18 |
1 2 3 4 5 7
|
cdleme0a |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ P =/= Q ) ) -> U e. A ) |
19 |
8 14 15 16 17 18
|
syl212anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ ( P .\/ U ) =/= ( ( G ` P ) .\/ U ) ) ) -> U e. A ) |
20 |
|
simp33 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ ( P .\/ U ) =/= ( ( G ` P ) .\/ U ) ) ) -> ( P .\/ U ) =/= ( ( G ` P ) .\/ U ) ) |
21 |
1 2 3 4
|
2llnma3r |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ ( G ` P ) e. A /\ U e. A ) /\ ( P .\/ U ) =/= ( ( G ` P ) .\/ U ) ) -> ( ( P .\/ U ) ./\ ( ( G ` P ) .\/ U ) ) = U ) |
22 |
8 9 13 19 20 21
|
syl131anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ ( P .\/ U ) =/= ( ( G ` P ) .\/ U ) ) ) -> ( ( P .\/ U ) ./\ ( ( G ` P ) .\/ U ) ) = U ) |
23 |
|
simp23 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ ( P .\/ U ) =/= ( ( G ` P ) .\/ U ) ) ) -> F e. T ) |
24 |
1 4 5 6
|
ltrncoat |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ P e. A ) -> ( F ` ( G ` P ) ) e. A ) |
25 |
10 23 11 9 24
|
syl121anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ ( P .\/ U ) =/= ( ( G ` P ) .\/ U ) ) ) -> ( F ` ( G ` P ) ) e. A ) |
26 |
1 2 4
|
hlatlej2 |
|- ( ( K e. HL /\ ( F ` ( G ` P ) ) e. A /\ U e. A ) -> U .<_ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ U ) ) |
27 |
8 25 19 26
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ ( P .\/ U ) =/= ( ( G ` P ) .\/ U ) ) ) -> U .<_ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ U ) ) |
28 |
22 27
|
eqbrtrd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ ( P .\/ U ) =/= ( ( G ` P ) .\/ U ) ) ) -> ( ( P .\/ U ) ./\ ( ( G ` P ) .\/ U ) ) .<_ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ U ) ) |