Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cnpf2 |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> F : X --> Y ) |
2 |
1
|
3expa |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> F : X --> Y ) |
3 |
2
|
3adantl3 |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> F : X --> Y ) |
4 |
|
cnpflfi |
|- ( ( A e. ( J fLim f ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) ) |
5 |
4
|
expcom |
|- ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) -> ( A e. ( J fLim f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) ) ) |
6 |
5
|
ralrimivw |
|- ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) -> A. f e. ( Fil ` X ) ( A e. ( J fLim f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) ) ) |
7 |
6
|
adantl |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> A. f e. ( Fil ` X ) ( A e. ( J fLim f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) ) ) |
8 |
3 7
|
jca |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> ( F : X --> Y /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( A e. ( J fLim f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) ) ) ) |
9 |
8
|
ex |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) -> ( F : X --> Y /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( A e. ( J fLim f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) ) ) ) ) |
10 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> J e. ( TopOn ` X ) ) |
11 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> A e. X ) |
12 |
|
neiflim |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ A e. X ) -> A e. ( J fLim ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) |
13 |
10 11 12
|
syl2anc |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> A e. ( J fLim ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) |
14 |
11
|
snssd |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> { A } C_ X ) |
15 |
11
|
snn0d |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> { A } =/= (/) ) |
16 |
|
neifil |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ { A } C_ X /\ { A } =/= (/) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( Fil ` X ) ) |
17 |
10 14 15 16
|
syl3anc |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( Fil ` X ) ) |
18 |
|
oveq2 |
|- ( f = ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( J fLim f ) = ( J fLim ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) |
19 |
18
|
eleq2d |
|- ( f = ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( A e. ( J fLim f ) <-> A e. ( J fLim ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) |
20 |
|
oveq2 |
|- ( f = ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( K fLimf f ) = ( K fLimf ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) |
21 |
20
|
fveq1d |
|- ( f = ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( ( K fLimf f ) ` F ) = ( ( K fLimf ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ` F ) ) |
22 |
21
|
eleq2d |
|- ( f = ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( ( F ` A ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) <-> ( F ` A ) e. ( ( K fLimf ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ` F ) ) ) |
23 |
19 22
|
imbi12d |
|- ( f = ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( ( A e. ( J fLim f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) ) <-> ( A e. ( J fLim ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fLimf ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ` F ) ) ) ) |
24 |
23
|
rspcv |
|- ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( Fil ` X ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) ( A e. ( J fLim f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) ) -> ( A e. ( J fLim ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fLimf ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ` F ) ) ) ) |
25 |
17 24
|
syl |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) ( A e. ( J fLim f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) ) -> ( A e. ( J fLim ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fLimf ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ` F ) ) ) ) |
26 |
13 25
|
mpid |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) ( A e. ( J fLim f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fLimf ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ` F ) ) ) |
27 |
26
|
imdistanda |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( A e. ( J fLim f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) ) ) -> ( F : X --> Y /\ ( F ` A ) e. ( ( K fLimf ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ` F ) ) ) ) |
28 |
|
eqid |
|- ( ( nei ` J ) ` { A } ) = ( ( nei ` J ) ` { A } ) |
29 |
28
|
cnpflf2 |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> Y /\ ( F ` A ) e. ( ( K fLimf ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ` F ) ) ) ) |
30 |
27 29
|
sylibrd |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( A e. ( J fLim f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) ) |
31 |
9 30
|
impbid |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> Y /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( A e. ( J fLim f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) ) ) ) ) |