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Theorem cnpflf2

Description: F is continuous at point A iff a limit of F when x tends to A is ( FA ) . Proposition 9 of BourbakiTop1 p. TG I.50. (Contributed by FL, 29-May-2011) (Revised by Mario Carneiro, 9-Apr-2015)

Ref Expression
Hypothesis cnpflf2.3 
|- L = ( ( nei ` J ) ` { A } )
Assertion cnpflf2 
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> Y /\ ( F ` A ) e. ( ( K fLimf L ) ` F ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cnpflf2.3 
 |-  L = ( ( nei ` J ) ` { A } )
2 cnpf2 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> F : X --> Y )
3 2 3expa 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> F : X --> Y )
4 3 3adantl3 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> F : X --> Y )
5 simpl1 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> J e. ( TopOn ` X ) )
6 simpl3 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> A e. X )
7 neiflim 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ A e. X ) -> A e. ( J fLim ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )
8 1 oveq2i 
 |-  ( J fLim L ) = ( J fLim ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
9 7 8 eleqtrrdi 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ A e. X ) -> A e. ( J fLim L ) )
10 5 6 9 syl2anc 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> A e. ( J fLim L ) )
11 simpr 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` A ) )
12 cnpflfi 
 |-  ( ( A e. ( J fLim L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fLimf L ) ` F ) )
13 10 11 12 syl2anc 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fLimf L ) ` F ) )
14 4 13 jca 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> ( F : X --> Y /\ ( F ` A ) e. ( ( K fLimf L ) ` F ) ) )
15 simpl1 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> J e. ( TopOn ` X ) )
16 topontop 
 |-  ( J e. ( TopOn ` X ) -> J e. Top )
17 15 16 syl 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> J e. Top )
18 simpl3 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> A e. X )
19 toponuni 
 |-  ( J e. ( TopOn ` X ) -> X = U. J )
20 15 19 syl 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> X = U. J )
21 18 20 eleqtrd 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> A e. U. J )
22 1 eleq2i 
 |-  ( z e. L <-> z e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
23 eqid 
 |-  U. J = U. J
24 23 isneip 
 |-  ( ( J e. Top /\ A e. U. J ) -> ( z e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> ( z C_ U. J /\ E. v e. J ( A e. v /\ v C_ z ) ) ) )
25 22 24 syl5bb 
 |-  ( ( J e. Top /\ A e. U. J ) -> ( z e. L <-> ( z C_ U. J /\ E. v e. J ( A e. v /\ v C_ z ) ) ) )
26 17 21 25 syl2anc 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( z e. L <-> ( z C_ U. J /\ E. v e. J ( A e. v /\ v C_ z ) ) ) )
27 sstr2 
 |-  ( ( F " v ) C_ ( F " z ) -> ( ( F " z ) C_ u -> ( F " v ) C_ u ) )
28 imass2 
 |-  ( v C_ z -> ( F " v ) C_ ( F " z ) )
29 27 28 syl11 
 |-  ( ( F " z ) C_ u -> ( v C_ z -> ( F " v ) C_ u ) )
30 29 anim2d 
 |-  ( ( F " z ) C_ u -> ( ( A e. v /\ v C_ z ) -> ( A e. v /\ ( F " v ) C_ u ) ) )
31 30 reximdv 
 |-  ( ( F " z ) C_ u -> ( E. v e. J ( A e. v /\ v C_ z ) -> E. v e. J ( A e. v /\ ( F " v ) C_ u ) ) )
32 31 com12 
 |-  ( E. v e. J ( A e. v /\ v C_ z ) -> ( ( F " z ) C_ u -> E. v e. J ( A e. v /\ ( F " v ) C_ u ) ) )
33 32 adantl 
 |-  ( ( z C_ U. J /\ E. v e. J ( A e. v /\ v C_ z ) ) -> ( ( F " z ) C_ u -> E. v e. J ( A e. v /\ ( F " v ) C_ u ) ) )
34 26 33 syl6bi 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( z e. L -> ( ( F " z ) C_ u -> E. v e. J ( A e. v /\ ( F " v ) C_ u ) ) ) )
35 34 rexlimdv 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( E. z e. L ( F " z ) C_ u -> E. v e. J ( A e. v /\ ( F " v ) C_ u ) ) )
36 35 imim2d 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( ( ( F ` A ) e. u -> E. z e. L ( F " z ) C_ u ) -> ( ( F ` A ) e. u -> E. v e. J ( A e. v /\ ( F " v ) C_ u ) ) ) )
37 36 ralimdv 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. u e. K ( ( F ` A ) e. u -> E. z e. L ( F " z ) C_ u ) -> A. u e. K ( ( F ` A ) e. u -> E. v e. J ( A e. v /\ ( F " v ) C_ u ) ) ) )
38 simpr 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> F : X --> Y )
39 37 38 jctild 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. u e. K ( ( F ` A ) e. u -> E. z e. L ( F " z ) C_ u ) -> ( F : X --> Y /\ A. u e. K ( ( F ` A ) e. u -> E. v e. J ( A e. v /\ ( F " v ) C_ u ) ) ) ) )
40 39 adantld 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( ( ( F ` A ) e. Y /\ A. u e. K ( ( F ` A ) e. u -> E. z e. L ( F " z ) C_ u ) ) -> ( F : X --> Y /\ A. u e. K ( ( F ` A ) e. u -> E. v e. J ( A e. v /\ ( F " v ) C_ u ) ) ) ) )
41 simpl2 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> K e. ( TopOn ` Y ) )
42 18 snssd 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> { A } C_ X )
43 snnzg 
 |-  ( A e. X -> { A } =/= (/) )
44 18 43 syl 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> { A } =/= (/) )
45 neifil 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ { A } C_ X /\ { A } =/= (/) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( Fil ` X ) )
46 15 42 44 45 syl3anc 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( Fil ` X ) )
47 1 46 eqeltrid 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> L e. ( Fil ` X ) )
48 isflf 
 |-  ( ( K e. ( TopOn ` Y ) /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : X --> Y ) -> ( ( F ` A ) e. ( ( K fLimf L ) ` F ) <-> ( ( F ` A ) e. Y /\ A. u e. K ( ( F ` A ) e. u -> E. z e. L ( F " z ) C_ u ) ) ) )
49 41 47 38 48 syl3anc 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( ( F ` A ) e. ( ( K fLimf L ) ` F ) <-> ( ( F ` A ) e. Y /\ A. u e. K ( ( F ` A ) e. u -> E. z e. L ( F " z ) C_ u ) ) ) )
50 iscnp 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> Y /\ A. u e. K ( ( F ` A ) e. u -> E. v e. J ( A e. v /\ ( F " v ) C_ u ) ) ) ) )
51 50 adantr 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> Y /\ A. u e. K ( ( F ` A ) e. u -> E. v e. J ( A e. v /\ ( F " v ) C_ u ) ) ) ) )
52 40 49 51 3imtr4d 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( ( F ` A ) e. ( ( K fLimf L ) ` F ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) )
53 52 impr 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ ( F : X --> Y /\ ( F ` A ) e. ( ( K fLimf L ) ` F ) ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` A ) )
54 14 53 impbida 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> Y /\ ( F ` A ) e. ( ( K fLimf L ) ` F ) ) ) )