Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
coefv0.1 |
|- A = ( coeff ` F ) |
2 |
|
coeadd.2 |
|- B = ( coeff ` G ) |
3 |
|
coeadd.3 |
|- M = ( deg ` F ) |
4 |
|
coeadd.4 |
|- N = ( deg ` G ) |
5 |
|
plyaddcl |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> ( F oF + G ) e. ( Poly ` CC ) ) |
6 |
|
dgrcl |
|- ( G e. ( Poly ` S ) -> ( deg ` G ) e. NN0 ) |
7 |
4 6
|
eqeltrid |
|- ( G e. ( Poly ` S ) -> N e. NN0 ) |
8 |
7
|
adantl |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> N e. NN0 ) |
9 |
|
dgrcl |
|- ( F e. ( Poly ` S ) -> ( deg ` F ) e. NN0 ) |
10 |
3 9
|
eqeltrid |
|- ( F e. ( Poly ` S ) -> M e. NN0 ) |
11 |
10
|
adantr |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> M e. NN0 ) |
12 |
8 11
|
ifcld |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> if ( M <_ N , N , M ) e. NN0 ) |
13 |
|
addcl |
|- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC ) |
14 |
13
|
adantl |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x + y ) e. CC ) |
15 |
1
|
coef3 |
|- ( F e. ( Poly ` S ) -> A : NN0 --> CC ) |
16 |
15
|
adantr |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> A : NN0 --> CC ) |
17 |
2
|
coef3 |
|- ( G e. ( Poly ` S ) -> B : NN0 --> CC ) |
18 |
17
|
adantl |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> B : NN0 --> CC ) |
19 |
|
nn0ex |
|- NN0 e. _V |
20 |
19
|
a1i |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> NN0 e. _V ) |
21 |
|
inidm |
|- ( NN0 i^i NN0 ) = NN0 |
22 |
14 16 18 20 20 21
|
off |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> ( A oF + B ) : NN0 --> CC ) |
23 |
|
oveq12 |
|- ( ( ( A ` k ) = 0 /\ ( B ` k ) = 0 ) -> ( ( A ` k ) + ( B ` k ) ) = ( 0 + 0 ) ) |
24 |
|
00id |
|- ( 0 + 0 ) = 0 |
25 |
23 24
|
eqtrdi |
|- ( ( ( A ` k ) = 0 /\ ( B ` k ) = 0 ) -> ( ( A ` k ) + ( B ` k ) ) = 0 ) |
26 |
16
|
ffnd |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> A Fn NN0 ) |
27 |
18
|
ffnd |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> B Fn NN0 ) |
28 |
|
eqidd |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) = ( A ` k ) ) |
29 |
|
eqidd |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( B ` k ) = ( B ` k ) ) |
30 |
26 27 20 20 21 28 29
|
ofval |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A oF + B ) ` k ) = ( ( A ` k ) + ( B ` k ) ) ) |
31 |
30
|
eqeq1d |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( A oF + B ) ` k ) = 0 <-> ( ( A ` k ) + ( B ` k ) ) = 0 ) ) |
32 |
25 31
|
syl5ibr |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( A ` k ) = 0 /\ ( B ` k ) = 0 ) -> ( ( A oF + B ) ` k ) = 0 ) ) |
33 |
32
|
necon3ad |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( A oF + B ) ` k ) =/= 0 -> -. ( ( A ` k ) = 0 /\ ( B ` k ) = 0 ) ) ) |
34 |
|
neorian |
|- ( ( ( A ` k ) =/= 0 \/ ( B ` k ) =/= 0 ) <-> -. ( ( A ` k ) = 0 /\ ( B ` k ) = 0 ) ) |
35 |
33 34
|
syl6ibr |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( A oF + B ) ` k ) =/= 0 -> ( ( A ` k ) =/= 0 \/ ( B ` k ) =/= 0 ) ) ) |
36 |
1 3
|
dgrub2 |
|- ( F e. ( Poly ` S ) -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } ) |
37 |
36
|
adantr |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } ) |
38 |
|
plyco0 |
|- ( ( M e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) -> ( ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } <-> A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ M ) ) ) |
39 |
11 16 38
|
syl2anc |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> ( ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } <-> A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ M ) ) ) |
40 |
37 39
|
mpbid |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ M ) ) |
41 |
40
|
r19.21bi |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ M ) ) |
42 |
11
|
adantr |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. NN0 ) -> M e. NN0 ) |
43 |
42
|
nn0red |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. NN0 ) -> M e. RR ) |
44 |
8
|
adantr |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. NN0 ) -> N e. NN0 ) |
45 |
44
|
nn0red |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. NN0 ) -> N e. RR ) |
46 |
|
max1 |
|- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> M <_ if ( M <_ N , N , M ) ) |
47 |
43 45 46
|
syl2anc |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. NN0 ) -> M <_ if ( M <_ N , N , M ) ) |
48 |
|
nn0re |
|- ( k e. NN0 -> k e. RR ) |
49 |
48
|
adantl |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. NN0 ) -> k e. RR ) |
50 |
12
|
adantr |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. NN0 ) -> if ( M <_ N , N , M ) e. NN0 ) |
51 |
50
|
nn0red |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. NN0 ) -> if ( M <_ N , N , M ) e. RR ) |
52 |
|
letr |
|- ( ( k e. RR /\ M e. RR /\ if ( M <_ N , N , M ) e. RR ) -> ( ( k <_ M /\ M <_ if ( M <_ N , N , M ) ) -> k <_ if ( M <_ N , N , M ) ) ) |
53 |
49 43 51 52
|
syl3anc |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( k <_ M /\ M <_ if ( M <_ N , N , M ) ) -> k <_ if ( M <_ N , N , M ) ) ) |
54 |
47 53
|
mpan2d |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( k <_ M -> k <_ if ( M <_ N , N , M ) ) ) |
55 |
41 54
|
syld |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ if ( M <_ N , N , M ) ) ) |
56 |
2 4
|
dgrub2 |
|- ( G e. ( Poly ` S ) -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } ) |
57 |
56
|
adantl |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } ) |
58 |
|
plyco0 |
|- ( ( N e. NN0 /\ B : NN0 --> CC ) -> ( ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } <-> A. k e. NN0 ( ( B ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) ) ) |
59 |
8 18 58
|
syl2anc |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> ( ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } <-> A. k e. NN0 ( ( B ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) ) ) |
60 |
57 59
|
mpbid |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> A. k e. NN0 ( ( B ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) ) |
61 |
60
|
r19.21bi |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( B ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) ) |
62 |
|
max2 |
|- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> N <_ if ( M <_ N , N , M ) ) |
63 |
43 45 62
|
syl2anc |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. NN0 ) -> N <_ if ( M <_ N , N , M ) ) |
64 |
|
letr |
|- ( ( k e. RR /\ N e. RR /\ if ( M <_ N , N , M ) e. RR ) -> ( ( k <_ N /\ N <_ if ( M <_ N , N , M ) ) -> k <_ if ( M <_ N , N , M ) ) ) |
65 |
49 45 51 64
|
syl3anc |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( k <_ N /\ N <_ if ( M <_ N , N , M ) ) -> k <_ if ( M <_ N , N , M ) ) ) |
66 |
63 65
|
mpan2d |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( k <_ N -> k <_ if ( M <_ N , N , M ) ) ) |
67 |
61 66
|
syld |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( B ` k ) =/= 0 -> k <_ if ( M <_ N , N , M ) ) ) |
68 |
55 67
|
jaod |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( A ` k ) =/= 0 \/ ( B ` k ) =/= 0 ) -> k <_ if ( M <_ N , N , M ) ) ) |
69 |
35 68
|
syld |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( A oF + B ) ` k ) =/= 0 -> k <_ if ( M <_ N , N , M ) ) ) |
70 |
69
|
ralrimiva |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> A. k e. NN0 ( ( ( A oF + B ) ` k ) =/= 0 -> k <_ if ( M <_ N , N , M ) ) ) |
71 |
|
plyco0 |
|- ( ( if ( M <_ N , N , M ) e. NN0 /\ ( A oF + B ) : NN0 --> CC ) -> ( ( ( A oF + B ) " ( ZZ>= ` ( if ( M <_ N , N , M ) + 1 ) ) ) = { 0 } <-> A. k e. NN0 ( ( ( A oF + B ) ` k ) =/= 0 -> k <_ if ( M <_ N , N , M ) ) ) ) |
72 |
12 22 71
|
syl2anc |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> ( ( ( A oF + B ) " ( ZZ>= ` ( if ( M <_ N , N , M ) + 1 ) ) ) = { 0 } <-> A. k e. NN0 ( ( ( A oF + B ) ` k ) =/= 0 -> k <_ if ( M <_ N , N , M ) ) ) ) |
73 |
70 72
|
mpbird |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> ( ( A oF + B ) " ( ZZ>= ` ( if ( M <_ N , N , M ) + 1 ) ) ) = { 0 } ) |
74 |
|
simpl |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> F e. ( Poly ` S ) ) |
75 |
|
simpr |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> G e. ( Poly ` S ) ) |
76 |
1 3
|
coeid |
|- ( F e. ( Poly ` S ) -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) |
77 |
76
|
adantr |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) |
78 |
2 4
|
coeid |
|- ( G e. ( Poly ` S ) -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) |
79 |
78
|
adantl |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) |
80 |
74 75 11 8 16 18 37 57 77 79
|
plyaddlem1 |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> ( F oF + G ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) |
81 |
5 12 22 73 80
|
coeeq |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> ( coeff ` ( F oF + G ) ) = ( A oF + B ) ) |
82 |
|
elfznn0 |
|- ( k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) -> k e. NN0 ) |
83 |
|
ffvelrn |
|- ( ( ( A oF + B ) : NN0 --> CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( A oF + B ) ` k ) e. CC ) |
84 |
22 82 83
|
syl2an |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> ( ( A oF + B ) ` k ) e. CC ) |
85 |
5 12 84 80
|
dgrle |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> ( deg ` ( F oF + G ) ) <_ if ( M <_ N , N , M ) ) |
86 |
81 85
|
jca |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> ( ( coeff ` ( F oF + G ) ) = ( A oF + B ) /\ ( deg ` ( F oF + G ) ) <_ if ( M <_ N , N , M ) ) ) |