Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dgrle.1 |
|- ( ph -> F e. ( Poly ` S ) ) |
2 |
|
dgrle.2 |
|- ( ph -> N e. NN0 ) |
3 |
|
dgrle.3 |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> A e. CC ) |
4 |
|
dgrle.4 |
|- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( A x. ( z ^ k ) ) ) ) |
5 |
1 2 3 4
|
coeeq2 |
|- ( ph -> ( coeff ` F ) = ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ) |
6 |
5
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ -. m <_ N ) -> ( coeff ` F ) = ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ) |
7 |
6
|
fveq1d |
|- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ -. m <_ N ) -> ( ( coeff ` F ) ` m ) = ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) ) |
8 |
|
nfcv |
|- F/_ k m |
9 |
|
nfv |
|- F/ k -. m <_ N |
10 |
|
nffvmpt1 |
|- F/_ k ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) |
11 |
10
|
nfeq1 |
|- F/ k ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) = 0 |
12 |
9 11
|
nfim |
|- F/ k ( -. m <_ N -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) = 0 ) |
13 |
|
breq1 |
|- ( k = m -> ( k <_ N <-> m <_ N ) ) |
14 |
13
|
notbid |
|- ( k = m -> ( -. k <_ N <-> -. m <_ N ) ) |
15 |
|
fveqeq2 |
|- ( k = m -> ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) = 0 <-> ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) = 0 ) ) |
16 |
14 15
|
imbi12d |
|- ( k = m -> ( ( -. k <_ N -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) = 0 ) <-> ( -. m <_ N -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) = 0 ) ) ) |
17 |
|
iffalse |
|- ( -. k <_ N -> if ( k <_ N , A , 0 ) = 0 ) |
18 |
17
|
fveq2d |
|- ( -. k <_ N -> ( _I ` if ( k <_ N , A , 0 ) ) = ( _I ` 0 ) ) |
19 |
|
0cn |
|- 0 e. CC |
20 |
|
fvi |
|- ( 0 e. CC -> ( _I ` 0 ) = 0 ) |
21 |
19 20
|
ax-mp |
|- ( _I ` 0 ) = 0 |
22 |
18 21
|
eqtrdi |
|- ( -. k <_ N -> ( _I ` if ( k <_ N , A , 0 ) ) = 0 ) |
23 |
|
eqid |
|- ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) = ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) |
24 |
23
|
fvmpt2i |
|- ( k e. NN0 -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) = ( _I ` if ( k <_ N , A , 0 ) ) ) |
25 |
24
|
eqeq1d |
|- ( k e. NN0 -> ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) = 0 <-> ( _I ` if ( k <_ N , A , 0 ) ) = 0 ) ) |
26 |
22 25
|
syl5ibr |
|- ( k e. NN0 -> ( -. k <_ N -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) = 0 ) ) |
27 |
8 12 16 26
|
vtoclgaf |
|- ( m e. NN0 -> ( -. m <_ N -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) = 0 ) ) |
28 |
27
|
imp |
|- ( ( m e. NN0 /\ -. m <_ N ) -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) = 0 ) |
29 |
28
|
adantll |
|- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ -. m <_ N ) -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) = 0 ) |
30 |
7 29
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ -. m <_ N ) -> ( ( coeff ` F ) ` m ) = 0 ) |
31 |
30
|
ex |
|- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( -. m <_ N -> ( ( coeff ` F ) ` m ) = 0 ) ) |
32 |
31
|
necon1ad |
|- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( coeff ` F ) ` m ) =/= 0 -> m <_ N ) ) |
33 |
32
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. m e. NN0 ( ( ( coeff ` F ) ` m ) =/= 0 -> m <_ N ) ) |
34 |
|
eqid |
|- ( coeff ` F ) = ( coeff ` F ) |
35 |
34
|
coef3 |
|- ( F e. ( Poly ` S ) -> ( coeff ` F ) : NN0 --> CC ) |
36 |
1 35
|
syl |
|- ( ph -> ( coeff ` F ) : NN0 --> CC ) |
37 |
|
plyco0 |
|- ( ( N e. NN0 /\ ( coeff ` F ) : NN0 --> CC ) -> ( ( ( coeff ` F ) " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } <-> A. m e. NN0 ( ( ( coeff ` F ) ` m ) =/= 0 -> m <_ N ) ) ) |
38 |
2 36 37
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( ( ( coeff ` F ) " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } <-> A. m e. NN0 ( ( ( coeff ` F ) ` m ) =/= 0 -> m <_ N ) ) ) |
39 |
33 38
|
mpbird |
|- ( ph -> ( ( coeff ` F ) " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } ) |
40 |
|
eqid |
|- ( deg ` F ) = ( deg ` F ) |
41 |
34 40
|
dgrlb |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ N e. NN0 /\ ( ( coeff ` F ) " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } ) -> ( deg ` F ) <_ N ) |
42 |
1 2 39 41
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( deg ` F ) <_ N ) |