Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dgrle.1 |
|- ( ph -> F e. ( Poly ` S ) ) |
2 |
|
dgrle.2 |
|- ( ph -> N e. NN0 ) |
3 |
|
dgrle.3 |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> A e. CC ) |
4 |
|
dgrle.4 |
|- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( A x. ( z ^ k ) ) ) ) |
5 |
|
simpll |
|- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k <_ N ) -> ph ) |
6 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k <_ N ) -> k <_ N ) |
7 |
|
simplr |
|- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k <_ N ) -> k e. NN0 ) |
8 |
|
nn0uz |
|- NN0 = ( ZZ>= ` 0 ) |
9 |
7 8
|
eleqtrdi |
|- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k <_ N ) -> k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) |
10 |
2
|
nn0zd |
|- ( ph -> N e. ZZ ) |
11 |
10
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k <_ N ) -> N e. ZZ ) |
12 |
|
elfz5 |
|- ( ( k e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( k e. ( 0 ... N ) <-> k <_ N ) ) |
13 |
9 11 12
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k <_ N ) -> ( k e. ( 0 ... N ) <-> k <_ N ) ) |
14 |
6 13
|
mpbird |
|- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k <_ N ) -> k e. ( 0 ... N ) ) |
15 |
5 14 3
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k <_ N ) -> A e. CC ) |
16 |
|
0cnd |
|- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ -. k <_ N ) -> 0 e. CC ) |
17 |
15 16
|
ifclda |
|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> if ( k <_ N , A , 0 ) e. CC ) |
18 |
17
|
fmpttd |
|- ( ph -> ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) : NN0 --> CC ) |
19 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 ) |
20 |
|
eqid |
|- ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) = ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) |
21 |
20
|
fvmpt2 |
|- ( ( k e. NN0 /\ if ( k <_ N , A , 0 ) e. CC ) -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) = if ( k <_ N , A , 0 ) ) |
22 |
19 17 21
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) = if ( k <_ N , A , 0 ) ) |
23 |
22
|
neeq1d |
|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) =/= 0 <-> if ( k <_ N , A , 0 ) =/= 0 ) ) |
24 |
|
iffalse |
|- ( -. k <_ N -> if ( k <_ N , A , 0 ) = 0 ) |
25 |
24
|
necon1ai |
|- ( if ( k <_ N , A , 0 ) =/= 0 -> k <_ N ) |
26 |
23 25
|
syl6bi |
|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) ) |
27 |
26
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. k e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) ) |
28 |
|
nfv |
|- F/ m ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) |
29 |
|
nffvmpt1 |
|- F/_ k ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) |
30 |
|
nfcv |
|- F/_ k 0 |
31 |
29 30
|
nfne |
|- F/ k ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) =/= 0 |
32 |
|
nfv |
|- F/ k m <_ N |
33 |
31 32
|
nfim |
|- F/ k ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) =/= 0 -> m <_ N ) |
34 |
|
fveq2 |
|- ( k = m -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) = ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) ) |
35 |
34
|
neeq1d |
|- ( k = m -> ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) =/= 0 <-> ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) =/= 0 ) ) |
36 |
|
breq1 |
|- ( k = m -> ( k <_ N <-> m <_ N ) ) |
37 |
35 36
|
imbi12d |
|- ( k = m -> ( ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) <-> ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) =/= 0 -> m <_ N ) ) ) |
38 |
28 33 37
|
cbvralw |
|- ( A. k e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) <-> A. m e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) =/= 0 -> m <_ N ) ) |
39 |
27 38
|
sylib |
|- ( ph -> A. m e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) =/= 0 -> m <_ N ) ) |
40 |
|
plyco0 |
|- ( ( N e. NN0 /\ ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) : NN0 --> CC ) -> ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } <-> A. m e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) =/= 0 -> m <_ N ) ) ) |
41 |
2 18 40
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } <-> A. m e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) =/= 0 -> m <_ N ) ) ) |
42 |
39 41
|
mpbird |
|- ( ph -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } ) |
43 |
|
nfcv |
|- F/_ m ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) |
44 |
|
nfcv |
|- F/_ k x. |
45 |
|
nfcv |
|- F/_ k ( z ^ m ) |
46 |
29 44 45
|
nfov |
|- F/_ k ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) x. ( z ^ m ) ) |
47 |
|
oveq2 |
|- ( k = m -> ( z ^ k ) = ( z ^ m ) ) |
48 |
34 47
|
oveq12d |
|- ( k = m -> ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) x. ( z ^ m ) ) ) |
49 |
43 46 48
|
cbvsumi |
|- sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ m e. ( 0 ... N ) ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) x. ( z ^ m ) ) |
50 |
|
elfznn0 |
|- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. NN0 ) |
51 |
50
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. NN0 ) |
52 |
|
elfzle2 |
|- ( k e. ( 0 ... N ) -> k <_ N ) |
53 |
52
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k <_ N ) |
54 |
53
|
iftrued |
|- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> if ( k <_ N , A , 0 ) = A ) |
55 |
3
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> A e. CC ) |
56 |
54 55
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> if ( k <_ N , A , 0 ) e. CC ) |
57 |
51 56 21
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) = if ( k <_ N , A , 0 ) ) |
58 |
57 54
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) = A ) |
59 |
58
|
oveq1d |
|- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( A x. ( z ^ k ) ) ) |
60 |
59
|
sumeq2dv |
|- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( A x. ( z ^ k ) ) ) |
61 |
49 60
|
eqtr3id |
|- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ m e. ( 0 ... N ) ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) x. ( z ^ m ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( A x. ( z ^ k ) ) ) |
62 |
61
|
mpteq2dva |
|- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ m e. ( 0 ... N ) ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) x. ( z ^ m ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( A x. ( z ^ k ) ) ) ) |
63 |
4 62
|
eqtr4d |
|- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ m e. ( 0 ... N ) ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) x. ( z ^ m ) ) ) ) |
64 |
1 2 18 42 63
|
coeeq |
|- ( ph -> ( coeff ` F ) = ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ) |