Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
conncomp.2 |
|- S = U. { x e. ~P X | ( A e. x /\ ( J |`t x ) e. Conn ) } |
2 |
|
simpr |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ A e. X ) -> A e. X ) |
3 |
2
|
snssd |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ A e. X ) -> { A } C_ X ) |
4 |
|
snex |
|- { A } e. _V |
5 |
4
|
elpw |
|- ( { A } e. ~P X <-> { A } C_ X ) |
6 |
3 5
|
sylibr |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ A e. X ) -> { A } e. ~P X ) |
7 |
|
snidg |
|- ( A e. X -> A e. { A } ) |
8 |
7
|
adantl |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ A e. X ) -> A e. { A } ) |
9 |
|
restsn2 |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ A e. X ) -> ( J |`t { A } ) = ~P { A } ) |
10 |
|
pwsn |
|- ~P { A } = { (/) , { A } } |
11 |
|
indisconn |
|- { (/) , { A } } e. Conn |
12 |
10 11
|
eqeltri |
|- ~P { A } e. Conn |
13 |
9 12
|
eqeltrdi |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ A e. X ) -> ( J |`t { A } ) e. Conn ) |
14 |
8 13
|
jca |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ A e. X ) -> ( A e. { A } /\ ( J |`t { A } ) e. Conn ) ) |
15 |
|
eleq2 |
|- ( x = { A } -> ( A e. x <-> A e. { A } ) ) |
16 |
|
oveq2 |
|- ( x = { A } -> ( J |`t x ) = ( J |`t { A } ) ) |
17 |
16
|
eleq1d |
|- ( x = { A } -> ( ( J |`t x ) e. Conn <-> ( J |`t { A } ) e. Conn ) ) |
18 |
15 17
|
anbi12d |
|- ( x = { A } -> ( ( A e. x /\ ( J |`t x ) e. Conn ) <-> ( A e. { A } /\ ( J |`t { A } ) e. Conn ) ) ) |
19 |
15 18
|
anbi12d |
|- ( x = { A } -> ( ( A e. x /\ ( A e. x /\ ( J |`t x ) e. Conn ) ) <-> ( A e. { A } /\ ( A e. { A } /\ ( J |`t { A } ) e. Conn ) ) ) ) |
20 |
19
|
rspcev |
|- ( ( { A } e. ~P X /\ ( A e. { A } /\ ( A e. { A } /\ ( J |`t { A } ) e. Conn ) ) ) -> E. x e. ~P X ( A e. x /\ ( A e. x /\ ( J |`t x ) e. Conn ) ) ) |
21 |
6 8 14 20
|
syl12anc |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ A e. X ) -> E. x e. ~P X ( A e. x /\ ( A e. x /\ ( J |`t x ) e. Conn ) ) ) |
22 |
|
elunirab |
|- ( A e. U. { x e. ~P X | ( A e. x /\ ( J |`t x ) e. Conn ) } <-> E. x e. ~P X ( A e. x /\ ( A e. x /\ ( J |`t x ) e. Conn ) ) ) |
23 |
21 22
|
sylibr |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ A e. X ) -> A e. U. { x e. ~P X | ( A e. x /\ ( J |`t x ) e. Conn ) } ) |
24 |
23 1
|
eleqtrrdi |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ A e. X ) -> A e. S ) |