Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
copisnmnd.b |
|- B = ( Base ` M ) |
2 |
|
copisnmnd.p |
|- ( +g ` M ) = ( x e. B , y e. B |-> C ) |
3 |
|
copisnmnd.c |
|- ( ph -> C e. B ) |
4 |
|
copisnmnd.n |
|- ( ph -> 1 < ( # ` B ) ) |
5 |
1
|
fvexi |
|- B e. _V |
6 |
5
|
a1i |
|- ( ( C e. B /\ 1 < ( # ` B ) ) -> B e. _V ) |
7 |
|
simpr |
|- ( ( C e. B /\ 1 < ( # ` B ) ) -> 1 < ( # ` B ) ) |
8 |
|
simpl |
|- ( ( C e. B /\ 1 < ( # ` B ) ) -> C e. B ) |
9 |
|
hashgt12el2 |
|- ( ( B e. _V /\ 1 < ( # ` B ) /\ C e. B ) -> E. c e. B C =/= c ) |
10 |
6 7 8 9
|
syl3anc |
|- ( ( C e. B /\ 1 < ( # ` B ) ) -> E. c e. B C =/= c ) |
11 |
|
df-ne |
|- ( C =/= c <-> -. C = c ) |
12 |
11
|
rexbii |
|- ( E. c e. B C =/= c <-> E. c e. B -. C = c ) |
13 |
|
rexnal |
|- ( E. c e. B -. C = c <-> -. A. c e. B C = c ) |
14 |
12 13
|
bitri |
|- ( E. c e. B C =/= c <-> -. A. c e. B C = c ) |
15 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ c e. B ) -> ( x e. B , y e. B |-> C ) = ( x e. B , y e. B |-> C ) ) |
16 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ c e. B ) /\ ( x = a /\ y = c ) ) -> C = C ) |
17 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ a e. B ) -> a e. B ) |
18 |
17
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ c e. B ) -> a e. B ) |
19 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ c e. B ) -> c e. B ) |
20 |
3
|
adantr |
|- ( ( ph /\ a e. B ) -> C e. B ) |
21 |
20
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ c e. B ) -> C e. B ) |
22 |
15 16 18 19 21
|
ovmpod |
|- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ c e. B ) -> ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) = C ) |
23 |
22
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ c e. B ) /\ ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) = c ) -> ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) = C ) |
24 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ c e. B ) /\ ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) = c ) -> ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) = c ) |
25 |
23 24
|
eqtr3d |
|- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ c e. B ) /\ ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) = c ) -> C = c ) |
26 |
25
|
ex |
|- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ c e. B ) -> ( ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) = c -> C = c ) ) |
27 |
26
|
ralimdva |
|- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( A. c e. B ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) = c -> A. c e. B C = c ) ) |
28 |
27
|
rexlimdva |
|- ( ph -> ( E. a e. B A. c e. B ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) = c -> A. c e. B C = c ) ) |
29 |
28
|
con3d |
|- ( ph -> ( -. A. c e. B C = c -> -. E. a e. B A. c e. B ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) = c ) ) |
30 |
|
rexnal |
|- ( E. c e. B -. ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) = c <-> -. A. c e. B ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) = c ) |
31 |
30
|
bicomi |
|- ( -. A. c e. B ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) = c <-> E. c e. B -. ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) = c ) |
32 |
31
|
ralbii |
|- ( A. a e. B -. A. c e. B ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) = c <-> A. a e. B E. c e. B -. ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) = c ) |
33 |
|
ralnex |
|- ( A. a e. B -. A. c e. B ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) = c <-> -. E. a e. B A. c e. B ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) = c ) |
34 |
|
df-ne |
|- ( ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) =/= c <-> -. ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) = c ) |
35 |
34
|
bicomi |
|- ( -. ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) = c <-> ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) =/= c ) |
36 |
35
|
rexbii |
|- ( E. c e. B -. ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) = c <-> E. c e. B ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) =/= c ) |
37 |
36
|
ralbii |
|- ( A. a e. B E. c e. B -. ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) = c <-> A. a e. B E. c e. B ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) =/= c ) |
38 |
32 33 37
|
3bitr3i |
|- ( -. E. a e. B A. c e. B ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) = c <-> A. a e. B E. c e. B ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) =/= c ) |
39 |
29 38
|
syl6ib |
|- ( ph -> ( -. A. c e. B C = c -> A. a e. B E. c e. B ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) =/= c ) ) |
40 |
14 39
|
syl5bi |
|- ( ph -> ( E. c e. B C =/= c -> A. a e. B E. c e. B ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) =/= c ) ) |
41 |
10 40
|
syl5 |
|- ( ph -> ( ( C e. B /\ 1 < ( # ` B ) ) -> A. a e. B E. c e. B ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) =/= c ) ) |
42 |
3 4 41
|
mp2and |
|- ( ph -> A. a e. B E. c e. B ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) =/= c ) |
43 |
2
|
eqcomi |
|- ( x e. B , y e. B |-> C ) = ( +g ` M ) |
44 |
1 43
|
isnmnd |
|- ( A. a e. B E. c e. B ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) =/= c -> M e/ Mnd ) |
45 |
42 44
|
syl |
|- ( ph -> M e/ Mnd ) |