Theorem dftr6

Description: A potential definition of transitivity for sets. (Contributed by Scott Fenton, 18-Mar-2012)

	Ref	Expression
Hypothesis	dftr6.1	|- A e. _V
Assertion	dftr6	|- ( Tr A <-> A e. ( _V \ ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftr6.1	|- A e. _V
2	1	elrn	|- ( A e. ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) <-> E. x x ( ( _E o. _E ) \ _E ) A )
3		brdif	|- ( x ( ( _E o. _E ) \ _E ) A <-> ( x ( _E o. _E ) A /\ -. x _E A ) )
4		vex	|- x e. _V
5	4 1	brco	|- ( x ( _E o. _E ) A <-> E. y ( x _E y /\ y _E A ) )
6		epel	|- ( x _E y <-> x e. y )
7	1	epeli	|- ( y _E A <-> y e. A )
8	6 7	anbi12i	|- ( ( x _E y /\ y _E A ) <-> ( x e. y /\ y e. A ) )
9	8	exbii	|- ( E. y ( x _E y /\ y _E A ) <-> E. y ( x e. y /\ y e. A ) )
10	5 9	bitri	|- ( x ( _E o. _E ) A <-> E. y ( x e. y /\ y e. A ) )
11	1	epeli	|- ( x _E A <-> x e. A )
12	11	notbii	|- ( -. x _E A <-> -. x e. A )
13	10 12	anbi12i	|- ( ( x ( _E o. _E ) A /\ -. x _E A ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. x e. A ) )
14		19.41v	|- ( E. y ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. x e. A ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. x e. A ) )
15		exanali	|- ( E. y ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. x e. A ) <-> -. A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
16	14 15	bitr3i	|- ( ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. x e. A ) <-> -. A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
17	3 13 16	3bitri	|- ( x ( ( _E o. _E ) \ _E ) A <-> -. A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
18	17	exbii	|- ( E. x x ( ( _E o. _E ) \ _E ) A <-> E. x -. A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
19		exnal	|- ( E. x -. A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) <-> -. A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
20	2 18 19	3bitri	|- ( A e. ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) <-> -. A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
21	20	con2bii	|- ( A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) <-> -. A e. ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) )
22		dftr2	|- ( Tr A <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
23		eldif	|- ( A e. ( _V \ ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) ) <-> ( A e. _V /\ -. A e. ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) ) )
24	1 23	mpbiran	|- ( A e. ( _V \ ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) ) <-> -. A e. ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) )
25	21 22 24	3bitr4i	|- ( Tr A <-> A e. ( _V \ ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) ) )