Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
distop |
|- ( A e. V -> ~P A e. Top ) |
2 |
|
simplrl |
|- ( ( ( A e. V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ x =/= y ) -> x e. A ) |
3 |
2
|
snssd |
|- ( ( ( A e. V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ x =/= y ) -> { x } C_ A ) |
4 |
|
snex |
|- { x } e. _V |
5 |
4
|
elpw |
|- ( { x } e. ~P A <-> { x } C_ A ) |
6 |
3 5
|
sylibr |
|- ( ( ( A e. V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ x =/= y ) -> { x } e. ~P A ) |
7 |
|
simplrr |
|- ( ( ( A e. V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ x =/= y ) -> y e. A ) |
8 |
7
|
snssd |
|- ( ( ( A e. V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ x =/= y ) -> { y } C_ A ) |
9 |
|
snex |
|- { y } e. _V |
10 |
9
|
elpw |
|- ( { y } e. ~P A <-> { y } C_ A ) |
11 |
8 10
|
sylibr |
|- ( ( ( A e. V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ x =/= y ) -> { y } e. ~P A ) |
12 |
|
vsnid |
|- x e. { x } |
13 |
12
|
a1i |
|- ( ( ( A e. V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ x =/= y ) -> x e. { x } ) |
14 |
|
vsnid |
|- y e. { y } |
15 |
14
|
a1i |
|- ( ( ( A e. V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ x =/= y ) -> y e. { y } ) |
16 |
|
disjsn2 |
|- ( x =/= y -> ( { x } i^i { y } ) = (/) ) |
17 |
16
|
adantl |
|- ( ( ( A e. V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ x =/= y ) -> ( { x } i^i { y } ) = (/) ) |
18 |
|
eleq2 |
|- ( u = { x } -> ( x e. u <-> x e. { x } ) ) |
19 |
|
ineq1 |
|- ( u = { x } -> ( u i^i v ) = ( { x } i^i v ) ) |
20 |
19
|
eqeq1d |
|- ( u = { x } -> ( ( u i^i v ) = (/) <-> ( { x } i^i v ) = (/) ) ) |
21 |
18 20
|
3anbi13d |
|- ( u = { x } -> ( ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) <-> ( x e. { x } /\ y e. v /\ ( { x } i^i v ) = (/) ) ) ) |
22 |
|
eleq2 |
|- ( v = { y } -> ( y e. v <-> y e. { y } ) ) |
23 |
|
ineq2 |
|- ( v = { y } -> ( { x } i^i v ) = ( { x } i^i { y } ) ) |
24 |
23
|
eqeq1d |
|- ( v = { y } -> ( ( { x } i^i v ) = (/) <-> ( { x } i^i { y } ) = (/) ) ) |
25 |
22 24
|
3anbi23d |
|- ( v = { y } -> ( ( x e. { x } /\ y e. v /\ ( { x } i^i v ) = (/) ) <-> ( x e. { x } /\ y e. { y } /\ ( { x } i^i { y } ) = (/) ) ) ) |
26 |
21 25
|
rspc2ev |
|- ( ( { x } e. ~P A /\ { y } e. ~P A /\ ( x e. { x } /\ y e. { y } /\ ( { x } i^i { y } ) = (/) ) ) -> E. u e. ~P A E. v e. ~P A ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) |
27 |
6 11 13 15 17 26
|
syl113anc |
|- ( ( ( A e. V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ x =/= y ) -> E. u e. ~P A E. v e. ~P A ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) |
28 |
27
|
ex |
|- ( ( A e. V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x =/= y -> E. u e. ~P A E. v e. ~P A ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) |
29 |
28
|
ralrimivva |
|- ( A e. V -> A. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> E. u e. ~P A E. v e. ~P A ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) |
30 |
|
unipw |
|- U. ~P A = A |
31 |
30
|
eqcomi |
|- A = U. ~P A |
32 |
31
|
ishaus |
|- ( ~P A e. Haus <-> ( ~P A e. Top /\ A. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> E. u e. ~P A E. v e. ~P A ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) ) |
33 |
1 29 32
|
sylanbrc |
|- ( A e. V -> ~P A e. Haus ) |