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Theorem elfzelfzlble

Description: Membership of an element of a finite set of sequential integers in a finite set of sequential integers with the same upper bound and a lower bound less than the upper bound. (Contributed by AV, 21-Oct-2018)

Ref Expression
Assertion elfzelfzlble 
|- ( ( M e. ZZ /\ K e. ( 0 ... N ) /\ N < ( M + K ) ) -> K e. ( ( N - M ) ... N ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 elfz2 
 |-  ( K e. ( 0 ... N ) <-> ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( 0 <_ K /\ K <_ N ) ) )
2 3simpc 
 |-  ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) )
3 2 adantr 
 |-  ( ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( 0 <_ K /\ K <_ N ) ) -> ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) )
4 1 3 sylbi 
 |-  ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) )
5 4 anim2i 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) )
6 simpl 
 |-  ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> N e. ZZ )
7 6 anim2i 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
8 7 ancomd 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) )
9 zsubcl 
 |-  ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N - M ) e. ZZ )
10 8 9 syl 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( N - M ) e. ZZ )
11 6 adantl 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> N e. ZZ )
12 simprr 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> K e. ZZ )
13 10 11 12 3jca 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( ( N - M ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) )
14 5 13 syl 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - M ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) )
15 14 3adant3 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ K e. ( 0 ... N ) /\ N < ( M + K ) ) -> ( ( N - M ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) )
16 elfzel2 
 |-  ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. ZZ )
17 16 zred 
 |-  ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. RR )
18 17 adantl 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> N e. RR )
19 zre 
 |-  ( M e. ZZ -> M e. RR )
20 19 adantr 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> M e. RR )
21 elfzelz 
 |-  ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. ZZ )
22 21 zred 
 |-  ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. RR )
23 22 adantl 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> K e. RR )
24 18 20 23 3jca 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N e. RR /\ M e. RR /\ K e. RR ) )
25 simp1 
 |-  ( ( N e. RR /\ M e. RR /\ K e. RR ) -> N e. RR )
26 readdcl 
 |-  ( ( M e. RR /\ K e. RR ) -> ( M + K ) e. RR )
27 26 3adant1 
 |-  ( ( N e. RR /\ M e. RR /\ K e. RR ) -> ( M + K ) e. RR )
28 ltle 
 |-  ( ( N e. RR /\ ( M + K ) e. RR ) -> ( N < ( M + K ) -> N <_ ( M + K ) ) )
29 25 27 28 syl2anc 
 |-  ( ( N e. RR /\ M e. RR /\ K e. RR ) -> ( N < ( M + K ) -> N <_ ( M + K ) ) )
30 lesubadd2 
 |-  ( ( N e. RR /\ M e. RR /\ K e. RR ) -> ( ( N - M ) <_ K <-> N <_ ( M + K ) ) )
31 29 30 sylibrd 
 |-  ( ( N e. RR /\ M e. RR /\ K e. RR ) -> ( N < ( M + K ) -> ( N - M ) <_ K ) )
32 24 31 syl 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N < ( M + K ) -> ( N - M ) <_ K ) )
33 32 3impia 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ K e. ( 0 ... N ) /\ N < ( M + K ) ) -> ( N - M ) <_ K )
34 elfzle2 
 |-  ( K e. ( 0 ... N ) -> K <_ N )
35 34 3ad2ant2 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ K e. ( 0 ... N ) /\ N < ( M + K ) ) -> K <_ N )
36 15 33 35 jca32 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ K e. ( 0 ... N ) /\ N < ( M + K ) ) -> ( ( ( N - M ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( ( N - M ) <_ K /\ K <_ N ) ) )
37 elfz2 
 |-  ( K e. ( ( N - M ) ... N ) <-> ( ( ( N - M ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( ( N - M ) <_ K /\ K <_ N ) ) )
38 36 37 sylibr 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ K e. ( 0 ... N ) /\ N < ( M + K ) ) -> K e. ( ( N - M ) ... N ) )