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Theorem evlsevl

Description: Evaluation in a subring is the same as evaluation in the ring itself. (Contributed by SN, 9-Feb-2025)

Ref Expression
Hypotheses evlsevl.q 
|- Q = ( ( I evalSub S ) ` R )
evlsevl.o 
|- O = ( I eval S )
evlsevl.w 
|- W = ( I mPoly U )
evlsevl.u 
|- U = ( S |`s R )
evlsevl.b 
|- B = ( Base ` W )
evlsevl.i 
|- ( ph -> I e. V )
evlsevl.s 
|- ( ph -> S e. CRing )
evlsevl.r 
|- ( ph -> R e. ( SubRing ` S ) )
evlsevl.f 
|- ( ph -> F e. B )
Assertion evlsevl 
|- ( ph -> ( Q ` F ) = ( O ` F ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 evlsevl.q 
 |-  Q = ( ( I evalSub S ) ` R )
2 evlsevl.o 
 |-  O = ( I eval S )
3 evlsevl.w 
 |-  W = ( I mPoly U )
4 evlsevl.u 
 |-  U = ( S |`s R )
5 evlsevl.b 
 |-  B = ( Base ` W )
6 evlsevl.i 
 |-  ( ph -> I e. V )
7 evlsevl.s 
 |-  ( ph -> S e. CRing )
8 evlsevl.r 
 |-  ( ph -> R e. ( SubRing ` S ) )
9 evlsevl.f 
 |-  ( ph -> F e. B )
10 eqid 
 |-  ( x e. R |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) = ( x e. R |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) )
11 sneq 
 |-  ( x = ( F ` b ) -> { x } = { ( F ` b ) } )
12 11 xpeq2d 
 |-  ( x = ( F ` b ) -> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) = ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { ( F ` b ) } ) )
13 eqid 
 |-  ( Base ` U ) = ( Base ` U )
14 eqid 
 |-  { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin }
15 3 13 5 14 9 mplelf 
 |-  ( ph -> F : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` U ) )
16 15 ffvelcdmda 
 |-  ( ( ph /\ b e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( F ` b ) e. ( Base ` U ) )
17 4 subrgbas 
 |-  ( R e. ( SubRing ` S ) -> R = ( Base ` U ) )
18 8 17 syl 
 |-  ( ph -> R = ( Base ` U ) )
19 18 adantr 
 |-  ( ( ph /\ b e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> R = ( Base ` U ) )
20 16 19 eleqtrrd 
 |-  ( ( ph /\ b e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( F ` b ) e. R )
21 ovexd 
 |-  ( ( ph /\ b e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( Base ` S ) ^m I ) e. _V )
22 snex 
 |-  { ( F ` b ) } e. _V
23 22 a1i 
 |-  ( ( ph /\ b e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> { ( F ` b ) } e. _V )
24 21 23 xpexd 
 |-  ( ( ph /\ b e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { ( F ` b ) } ) e. _V )
25 10 12 20 24 fvmptd3 
 |-  ( ( ph /\ b e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( x e. R |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) ` ( F ` b ) ) = ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { ( F ` b ) } ) )
26 eqid 
 |-  ( x e. ( Base ` S ) |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) = ( x e. ( Base ` S ) |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) )
27 eqid 
 |-  ( Base ` S ) = ( Base ` S )
28 27 subrgss 
 |-  ( R e. ( SubRing ` S ) -> R C_ ( Base ` S ) )
29 8 28 syl 
 |-  ( ph -> R C_ ( Base ` S ) )
30 29 adantr 
 |-  ( ( ph /\ b e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> R C_ ( Base ` S ) )
31 30 20 sseldd 
 |-  ( ( ph /\ b e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( F ` b ) e. ( Base ` S ) )
32 26 12 31 24 fvmptd3 
 |-  ( ( ph /\ b e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( x e. ( Base ` S ) |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) ` ( F ` b ) ) = ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { ( F ` b ) } ) )
33 25 32 eqtr4d 
 |-  ( ( ph /\ b e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( x e. R |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) ` ( F ` b ) ) = ( ( x e. ( Base ` S ) |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) ` ( F ` b ) ) )
34 33 oveq1d 
 |-  ( ( ph /\ b e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( x e. R |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) ` ( F ` b ) ) ( .r ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ( ( mulGrp ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) gsum ( b oF ( .g ` ( mulGrp ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ) ( x e. I |-> ( a e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( a ` x ) ) ) ) ) ) = ( ( ( x e. ( Base ` S ) |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) ` ( F ` b ) ) ( .r ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ( ( mulGrp ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) gsum ( b oF ( .g ` ( mulGrp ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ) ( x e. I |-> ( a e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( a ` x ) ) ) ) ) ) )
35 34 mpteq2dva 
 |-  ( ph -> ( b e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( ( ( x e. R |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) ` ( F ` b ) ) ( .r ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ( ( mulGrp ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) gsum ( b oF ( .g ` ( mulGrp ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ) ( x e. I |-> ( a e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( a ` x ) ) ) ) ) ) ) = ( b e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( ( ( x e. ( Base ` S ) |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) ` ( F ` b ) ) ( .r ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ( ( mulGrp ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) gsum ( b oF ( .g ` ( mulGrp ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ) ( x e. I |-> ( a e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( a ` x ) ) ) ) ) ) ) )
36 35 oveq2d 
 |-  ( ph -> ( ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) gsum ( b e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( ( ( x e. R |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) ` ( F ` b ) ) ( .r ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ( ( mulGrp ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) gsum ( b oF ( .g ` ( mulGrp ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ) ( x e. I |-> ( a e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( a ` x ) ) ) ) ) ) ) ) = ( ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) gsum ( b e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( ( ( x e. ( Base ` S ) |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) ` ( F ` b ) ) ( .r ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ( ( mulGrp ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) gsum ( b oF ( .g ` ( mulGrp ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ) ( x e. I |-> ( a e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( a ` x ) ) ) ) ) ) ) ) )
37 eqid 
 |-  ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) = ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) )
38 eqid 
 |-  ( mulGrp ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) = ( mulGrp ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) )
39 eqid 
 |-  ( .g ` ( mulGrp ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ) = ( .g ` ( mulGrp ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) )
40 eqid 
 |-  ( .r ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) = ( .r ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) )
41 eqid 
 |-  ( x e. I |-> ( a e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( a ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( a e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( a ` x ) ) )
42 1 3 5 14 27 4 37 38 39 40 10 41 6 7 8 9 evlsvval 
 |-  ( ph -> ( Q ` F ) = ( ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) gsum ( b e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( ( ( x e. R |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) ` ( F ` b ) ) ( .r ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ( ( mulGrp ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) gsum ( b oF ( .g ` ( mulGrp ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ) ( x e. I |-> ( a e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( a ` x ) ) ) ) ) ) ) ) )
43 2 27 evlval 
 |-  O = ( ( I evalSub S ) ` ( Base ` S ) )
44 43 fveq1i 
 |-  ( O ` F ) = ( ( ( I evalSub S ) ` ( Base ` S ) ) ` F )
45 eqid 
 |-  ( ( I evalSub S ) ` ( Base ` S ) ) = ( ( I evalSub S ) ` ( Base ` S ) )
46 eqid 
 |-  ( I mPoly ( S |`s ( Base ` S ) ) ) = ( I mPoly ( S |`s ( Base ` S ) ) )
47 eqid 
 |-  ( Base ` ( I mPoly ( S |`s ( Base ` S ) ) ) ) = ( Base ` ( I mPoly ( S |`s ( Base ` S ) ) ) )
48 eqid 
 |-  ( S |`s ( Base ` S ) ) = ( S |`s ( Base ` S ) )
49 7 crngringd 
 |-  ( ph -> S e. Ring )
50 27 subrgid 
 |-  ( S e. Ring -> ( Base ` S ) e. ( SubRing ` S ) )
51 49 50 syl 
 |-  ( ph -> ( Base ` S ) e. ( SubRing ` S ) )
52 eqid 
 |-  ( I mPoly S ) = ( I mPoly S )
53 eqid 
 |-  ( Base ` ( I mPoly S ) ) = ( Base ` ( I mPoly S ) )
54 3 4 5 52 53 6 8 9 mplsubrgcl 
 |-  ( ph -> F e. ( Base ` ( I mPoly S ) ) )
55 27 ressid 
 |-  ( S e. CRing -> ( S |`s ( Base ` S ) ) = S )
56 7 55 syl 
 |-  ( ph -> ( S |`s ( Base ` S ) ) = S )
57 56 oveq2d 
 |-  ( ph -> ( I mPoly ( S |`s ( Base ` S ) ) ) = ( I mPoly S ) )
58 57 fveq2d 
 |-  ( ph -> ( Base ` ( I mPoly ( S |`s ( Base ` S ) ) ) ) = ( Base ` ( I mPoly S ) ) )
59 54 58 eleqtrrd 
 |-  ( ph -> F e. ( Base ` ( I mPoly ( S |`s ( Base ` S ) ) ) ) )
60 45 46 47 14 27 48 37 38 39 40 26 41 6 7 51 59 evlsvval 
 |-  ( ph -> ( ( ( I evalSub S ) ` ( Base ` S ) ) ` F ) = ( ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) gsum ( b e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( ( ( x e. ( Base ` S ) |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) ` ( F ` b ) ) ( .r ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ( ( mulGrp ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) gsum ( b oF ( .g ` ( mulGrp ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ) ( x e. I |-> ( a e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( a ` x ) ) ) ) ) ) ) ) )
61 44 60 eqtrid 
 |-  ( ph -> ( O ` F ) = ( ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) gsum ( b e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( ( ( x e. ( Base ` S ) |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) ` ( F ` b ) ) ( .r ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ( ( mulGrp ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) gsum ( b oF ( .g ` ( mulGrp ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ) ( x e. I |-> ( a e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( a ` x ) ) ) ) ) ) ) ) )
62 36 42 61 3eqtr4d 
 |-  ( ph -> ( Q ` F ) = ( O ` F ) )