Theorem findreccl

Description: Please add description here. (Contributed by Jeff Hoffman, 19-Feb-2008)

	Ref	Expression
Hypothesis	findreccl.1	|- ( z e. P -> ( G ` z ) e. P )
Assertion	findreccl	|- ( C e. _om -> ( A e. P -> ( rec ( G , A ) ` C ) e. P ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		findreccl.1	|- ( z e. P -> ( G ` z ) e. P )
2		rdg0g	|- ( A e. P -> ( rec ( G , A ) ` (/) ) = A )
3		eleq1a	|- ( A e. P -> ( ( rec ( G , A ) ` (/) ) = A -> ( rec ( G , A ) ` (/) ) e. P ) )
4	2 3	mpd	|- ( A e. P -> ( rec ( G , A ) ` (/) ) e. P )
5		nnon	|- ( y e. _om -> y e. On )
6		fveq2	|- ( z = ( rec ( G , A ) ` y ) -> ( G ` z ) = ( G ` ( rec ( G , A ) ` y ) ) )
7	6	eleq1d	|- ( z = ( rec ( G , A ) ` y ) -> ( ( G ` z ) e. P <-> ( G ` ( rec ( G , A ) ` y ) ) e. P ) )
8	7 1	vtoclga	|- ( ( rec ( G , A ) ` y ) e. P -> ( G ` ( rec ( G , A ) ` y ) ) e. P )
9		rdgsuc	|- ( y e. On -> ( rec ( G , A ) ` suc y ) = ( G ` ( rec ( G , A ) ` y ) ) )
10	9	eleq1d	|- ( y e. On -> ( ( rec ( G , A ) ` suc y ) e. P <-> ( G ` ( rec ( G , A ) ` y ) ) e. P ) )
11	8 10	syl5ibr	|- ( y e. On -> ( ( rec ( G , A ) ` y ) e. P -> ( rec ( G , A ) ` suc y ) e. P ) )
12	5 11	syl	|- ( y e. _om -> ( ( rec ( G , A ) ` y ) e. P -> ( rec ( G , A ) ` suc y ) e. P ) )
13	12	a1d	|- ( y e. _om -> ( A e. P -> ( ( rec ( G , A ) ` y ) e. P -> ( rec ( G , A ) ` suc y ) e. P ) ) )
14	4 13	findfvcl	|- ( C e. _om -> ( A e. P -> ( rec ( G , A ) ` C ) e. P ) )