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Theorem fmtnofac2lem

Description: Lemma for fmtnofac2 (Induction step). (Contributed by AV, 30-Jul-2021)

Ref Expression
Assertion fmtnofac2lem 
|- ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y || ( FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 y = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) /\ ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || ( FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( y x. z ) || ( FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 eluzelz 
 |-  ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) -> y e. ZZ )
2 1 adantr 
 |-  ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> y e. ZZ )
3 eluzelz 
 |-  ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> z e. ZZ )
4 3 adantl 
 |-  ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. ZZ )
5 eluzge2nn0 
 |-  ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. NN0 )
6 fmtnonn 
 |-  ( N e. NN0 -> ( FermatNo ` N ) e. NN )
7 6 nnzd 
 |-  ( N e. NN0 -> ( FermatNo ` N ) e. ZZ )
8 5 7 syl 
 |-  ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( FermatNo ` N ) e. ZZ )
9 muldvds2 
 |-  ( ( y e. ZZ /\ z e. ZZ /\ ( FermatNo ` N ) e. ZZ ) -> ( ( y x. z ) || ( FermatNo ` N ) -> z || ( FermatNo ` N ) ) )
10 2 4 8 9 syl2an3an 
 |-  ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( y x. z ) || ( FermatNo ` N ) -> z || ( FermatNo ` N ) ) )
11 muldvds1 
 |-  ( ( y e. ZZ /\ z e. ZZ /\ ( FermatNo ` N ) e. ZZ ) -> ( ( y x. z ) || ( FermatNo ` N ) -> y || ( FermatNo ` N ) ) )
12 2 4 8 11 syl2an3an 
 |-  ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( y x. z ) || ( FermatNo ` N ) -> y || ( FermatNo ` N ) ) )
13 pm2.27 
 |-  ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y || ( FermatNo ` N ) ) -> ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y || ( FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 y = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) -> E. k e. NN0 y = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) )
14 13 ad2ant2lr 
 |-  ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( y || ( FermatNo ` N ) /\ z || ( FermatNo ` N ) ) ) -> ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y || ( FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 y = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) -> E. k e. NN0 y = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) )
15 pm2.27 
 |-  ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || ( FermatNo ` N ) ) -> ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || ( FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) -> E. k e. NN0 z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) )
16 15 ad2ant2l 
 |-  ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( y || ( FermatNo ` N ) /\ z || ( FermatNo ` N ) ) ) -> ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || ( FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) -> E. k e. NN0 z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) )
17 oveq1 
 |-  ( k = m -> ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) = ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) )
18 17 oveq1d 
 |-  ( k = m -> ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) = ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) )
19 18 eqeq2d 
 |-  ( k = m -> ( y = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) <-> y = ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) )
20 19 cbvrexvw 
 |-  ( E. k e. NN0 y = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) <-> E. m e. NN0 y = ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) )
21 oveq1 
 |-  ( k = n -> ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) = ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) )
22 21 oveq1d 
 |-  ( k = n -> ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) = ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) )
23 22 eqeq2d 
 |-  ( k = n -> ( z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) <-> z = ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) )
24 23 cbvrexvw 
 |-  ( E. k e. NN0 z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) <-> E. n e. NN0 z = ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) )
25 simpl 
 |-  ( ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) -> m e. NN0 )
26 25 adantl 
 |-  ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> m e. NN0 )
27 2nn0 
 |-  2 e. NN0
28 27 a1i 
 |-  ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 e. NN0 )
29 5 28 nn0addcld 
 |-  ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N + 2 ) e. NN0 )
30 28 29 nn0expcld 
 |-  ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 ^ ( N + 2 ) ) e. NN0 )
31 30 adantr 
 |-  ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( 2 ^ ( N + 2 ) ) e. NN0 )
32 26 31 nn0mulcld 
 |-  ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) e. NN0 )
33 simpr 
 |-  ( ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) -> n e. NN0 )
34 33 adantl 
 |-  ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> n e. NN0 )
35 32 34 nn0mulcld 
 |-  ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) e. NN0 )
36 nn0addcl 
 |-  ( ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) -> ( m + n ) e. NN0 )
37 36 adantl 
 |-  ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( m + n ) e. NN0 )
38 35 37 nn0addcld 
 |-  ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) e. NN0 )
39 oveq1 
 |-  ( k = ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) -> ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) = ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) )
40 39 oveq1d 
 |-  ( k = ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) -> ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) = ( ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) )
41 40 eqeq2d 
 |-  ( k = ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) -> ( ( ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) <-> ( ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) = ( ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) )
42 41 adantl 
 |-  ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k = ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) <-> ( ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) = ( ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) )
43 eqidd 
 |-  ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) = ( ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) )
44 38 42 43 rspcedvd 
 |-  ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> E. k e. NN0 ( ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) )
45 nn0cn 
 |-  ( m e. NN0 -> m e. CC )
46 45 adantr 
 |-  ( ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) -> m e. CC )
47 46 adantl 
 |-  ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> m e. CC )
48 30 nn0cnd 
 |-  ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 ^ ( N + 2 ) ) e. CC )
49 48 adantr 
 |-  ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( 2 ^ ( N + 2 ) ) e. CC )
50 47 49 mulcld 
 |-  ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) e. CC )
51 33 nn0cnd 
 |-  ( ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) -> n e. CC )
52 51 adantl 
 |-  ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> n e. CC )
53 52 49 mulcld 
 |-  ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) e. CC )
54 50 53 jca 
 |-  ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) e. CC /\ ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) e. CC ) )
55 54 adantr 
 |-  ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) e. CC /\ ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) e. CC ) )
56 muladd11r 
 |-  ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) e. CC /\ ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) e. CC ) -> ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) x. ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) = ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) + ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) ) + 1 ) )
57 55 56 syl 
 |-  ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) x. ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) = ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) + ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) ) + 1 ) )
58 25 nn0cnd 
 |-  ( ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) -> m e. CC )
59 58 adantl 
 |-  ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> m e. CC )
60 59 52 49 3jca 
 |-  ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( m e. CC /\ n e. CC /\ ( 2 ^ ( N + 2 ) ) e. CC ) )
61 60 adantr 
 |-  ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( m e. CC /\ n e. CC /\ ( 2 ^ ( N + 2 ) ) e. CC ) )
62 adddir 
 |-  ( ( m e. CC /\ n e. CC /\ ( 2 ^ ( N + 2 ) ) e. CC ) -> ( ( m + n ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) = ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) )
63 61 62 syl 
 |-  ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( m + n ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) = ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) )
64 63 eqcomd 
 |-  ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) = ( ( m + n ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) )
65 64 oveq2d 
 |-  ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + ( ( m + n ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) )
66 50 adantr 
 |-  ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) e. CC )
67 52 adantr 
 |-  ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> n e. CC )
68 49 adantr 
 |-  ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( N + 2 ) ) e. CC )
69 66 67 68 mulassd 
 |-  ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) = ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) )
70 69 eqcomd 
 |-  ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) = ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) )
71 70 oveq1d 
 |-  ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) + ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) ) )
72 50 52 mulcld 
 |-  ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) e. CC )
73 36 nn0cnd 
 |-  ( ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) -> ( m + n ) e. CC )
74 73 adantl 
 |-  ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( m + n ) e. CC )
75 72 74 49 3jca 
 |-  ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) e. CC /\ ( m + n ) e. CC /\ ( 2 ^ ( N + 2 ) ) e. CC ) )
76 75 adantr 
 |-  ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) e. CC /\ ( m + n ) e. CC /\ ( 2 ^ ( N + 2 ) ) e. CC ) )
77 adddir 
 |-  ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) e. CC /\ ( m + n ) e. CC /\ ( 2 ^ ( N + 2 ) ) e. CC ) -> ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) = ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + ( ( m + n ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) )
78 76 77 syl 
 |-  ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) = ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + ( ( m + n ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) )
79 65 71 78 3eqtr4d 
 |-  ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) + ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) )
80 79 oveq1d 
 |-  ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) + ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) ) + 1 ) = ( ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) )
81 57 80 eqtrd 
 |-  ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) x. ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) = ( ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) )
82 81 eqeq1d 
 |-  ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) x. ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) <-> ( ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) )
83 82 rexbidva 
 |-  ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( E. k e. NN0 ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) x. ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) <-> E. k e. NN0 ( ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) )
84 44 83 mpbird 
 |-  ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> E. k e. NN0 ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) x. ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) )
85 84 adantll 
 |-  ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> E. k e. NN0 ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) x. ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) )
86 oveq12 
 |-  ( ( y = ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) /\ z = ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) -> ( y x. z ) = ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) x. ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) )
87 86 ancoms 
 |-  ( ( z = ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) /\ y = ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) -> ( y x. z ) = ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) x. ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) )
88 87 eqeq1d 
 |-  ( ( z = ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) /\ y = ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) -> ( ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) <-> ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) x. ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) )
89 88 rexbidv 
 |-  ( ( z = ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) /\ y = ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) -> ( E. k e. NN0 ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) <-> E. k e. NN0 ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) x. ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) )
90 85 89 syl5ibrcom 
 |-  ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( ( z = ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) /\ y = ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) -> E. k e. NN0 ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) )
91 90 expd 
 |-  ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( z = ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) -> ( y = ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) -> E. k e. NN0 ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) )
92 91 anassrs 
 |-  ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ m e. NN0 ) /\ n e. NN0 ) -> ( z = ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) -> ( y = ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) -> E. k e. NN0 ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) )
93 92 rexlimdva 
 |-  ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ m e. NN0 ) -> ( E. n e. NN0 z = ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) -> ( y = ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) -> E. k e. NN0 ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) )
94 24 93 biimtrid 
 |-  ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ m e. NN0 ) -> ( E. k e. NN0 z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) -> ( y = ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) -> E. k e. NN0 ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) )
95 94 com23 
 |-  ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ m e. NN0 ) -> ( y = ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) -> ( E. k e. NN0 z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) -> E. k e. NN0 ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) )
96 95 rexlimdva 
 |-  ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( E. m e. NN0 y = ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) -> ( E. k e. NN0 z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) -> E. k e. NN0 ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) )
97 20 96 biimtrid 
 |-  ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( E. k e. NN0 y = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) -> ( E. k e. NN0 z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) -> E. k e. NN0 ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) )
98 97 impd 
 |-  ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( E. k e. NN0 y = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) /\ E. k e. NN0 z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) -> E. k e. NN0 ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) )
99 98 adantr 
 |-  ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( y || ( FermatNo ` N ) /\ z || ( FermatNo ` N ) ) ) -> ( ( E. k e. NN0 y = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) /\ E. k e. NN0 z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) -> E. k e. NN0 ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) )
100 14 16 99 syl2and 
 |-  ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( y || ( FermatNo ` N ) /\ z || ( FermatNo ` N ) ) ) -> ( ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y || ( FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 y = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) /\ ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || ( FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> E. k e. NN0 ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) )
101 100 exp32 
 |-  ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( y || ( FermatNo ` N ) -> ( z || ( FermatNo ` N ) -> ( ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y || ( FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 y = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) /\ ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || ( FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> E. k e. NN0 ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) ) )
102 12 101 syld 
 |-  ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( y x. z ) || ( FermatNo ` N ) -> ( z || ( FermatNo ` N ) -> ( ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y || ( FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 y = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) /\ ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || ( FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> E. k e. NN0 ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) ) )
103 10 102 mpdd 
 |-  ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( y x. z ) || ( FermatNo ` N ) -> ( ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y || ( FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 y = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) /\ ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || ( FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> E. k e. NN0 ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) )
104 103 expimpd 
 |-  ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( y x. z ) || ( FermatNo ` N ) ) -> ( ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y || ( FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 y = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) /\ ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || ( FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> E. k e. NN0 ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) )
105 104 com23 
 |-  ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y || ( FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 y = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) /\ ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || ( FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( y x. z ) || ( FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) )