Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fompt.1 |
|- F = ( x e. A |-> C ) |
2 |
|
nfmpt1 |
|- F/_ x ( x e. A |-> C ) |
3 |
1 2
|
nfcxfr |
|- F/_ x F |
4 |
3
|
dffo3f |
|- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) ) |
5 |
4
|
simplbi |
|- ( F : A -onto-> B -> F : A --> B ) |
6 |
1
|
fmpt |
|- ( A. x e. A C e. B <-> F : A --> B ) |
7 |
6
|
bicomi |
|- ( F : A --> B <-> A. x e. A C e. B ) |
8 |
7
|
biimpi |
|- ( F : A --> B -> A. x e. A C e. B ) |
9 |
5 8
|
syl |
|- ( F : A -onto-> B -> A. x e. A C e. B ) |
10 |
3
|
foelrnf |
|- ( ( F : A -onto-> B /\ y e. B ) -> E. x e. A y = ( F ` x ) ) |
11 |
|
nfcv |
|- F/_ x A |
12 |
|
nfcv |
|- F/_ x B |
13 |
3 11 12
|
nffo |
|- F/ x F : A -onto-> B |
14 |
|
simpr |
|- ( ( ( F : A -onto-> B /\ x e. A ) /\ y = ( F ` x ) ) -> y = ( F ` x ) ) |
15 |
|
simpr |
|- ( ( F : A -onto-> B /\ x e. A ) -> x e. A ) |
16 |
9
|
r19.21bi |
|- ( ( F : A -onto-> B /\ x e. A ) -> C e. B ) |
17 |
1
|
fvmpt2 |
|- ( ( x e. A /\ C e. B ) -> ( F ` x ) = C ) |
18 |
15 16 17
|
syl2anc |
|- ( ( F : A -onto-> B /\ x e. A ) -> ( F ` x ) = C ) |
19 |
18
|
adantr |
|- ( ( ( F : A -onto-> B /\ x e. A ) /\ y = ( F ` x ) ) -> ( F ` x ) = C ) |
20 |
14 19
|
eqtrd |
|- ( ( ( F : A -onto-> B /\ x e. A ) /\ y = ( F ` x ) ) -> y = C ) |
21 |
20
|
ex |
|- ( ( F : A -onto-> B /\ x e. A ) -> ( y = ( F ` x ) -> y = C ) ) |
22 |
21
|
ex |
|- ( F : A -onto-> B -> ( x e. A -> ( y = ( F ` x ) -> y = C ) ) ) |
23 |
13 22
|
reximdai |
|- ( F : A -onto-> B -> ( E. x e. A y = ( F ` x ) -> E. x e. A y = C ) ) |
24 |
23
|
adantr |
|- ( ( F : A -onto-> B /\ y e. B ) -> ( E. x e. A y = ( F ` x ) -> E. x e. A y = C ) ) |
25 |
10 24
|
mpd |
|- ( ( F : A -onto-> B /\ y e. B ) -> E. x e. A y = C ) |
26 |
25
|
ralrimiva |
|- ( F : A -onto-> B -> A. y e. B E. x e. A y = C ) |
27 |
9 26
|
jca |
|- ( F : A -onto-> B -> ( A. x e. A C e. B /\ A. y e. B E. x e. A y = C ) ) |
28 |
6
|
biimpi |
|- ( A. x e. A C e. B -> F : A --> B ) |
29 |
28
|
adantr |
|- ( ( A. x e. A C e. B /\ A. y e. B E. x e. A y = C ) -> F : A --> B ) |
30 |
|
nfv |
|- F/ y A. x e. A C e. B |
31 |
|
nfra1 |
|- F/ y A. y e. B E. x e. A y = C |
32 |
30 31
|
nfan |
|- F/ y ( A. x e. A C e. B /\ A. y e. B E. x e. A y = C ) |
33 |
|
simpll |
|- ( ( ( A. x e. A C e. B /\ A. y e. B E. x e. A y = C ) /\ y e. B ) -> A. x e. A C e. B ) |
34 |
|
rspa |
|- ( ( A. y e. B E. x e. A y = C /\ y e. B ) -> E. x e. A y = C ) |
35 |
34
|
adantll |
|- ( ( ( A. x e. A C e. B /\ A. y e. B E. x e. A y = C ) /\ y e. B ) -> E. x e. A y = C ) |
36 |
|
nfra1 |
|- F/ x A. x e. A C e. B |
37 |
|
simp3 |
|- ( ( A. x e. A C e. B /\ x e. A /\ y = C ) -> y = C ) |
38 |
|
simpr |
|- ( ( A. x e. A C e. B /\ x e. A ) -> x e. A ) |
39 |
|
rspa |
|- ( ( A. x e. A C e. B /\ x e. A ) -> C e. B ) |
40 |
38 39 17
|
syl2anc |
|- ( ( A. x e. A C e. B /\ x e. A ) -> ( F ` x ) = C ) |
41 |
40
|
eqcomd |
|- ( ( A. x e. A C e. B /\ x e. A ) -> C = ( F ` x ) ) |
42 |
41
|
3adant3 |
|- ( ( A. x e. A C e. B /\ x e. A /\ y = C ) -> C = ( F ` x ) ) |
43 |
37 42
|
eqtrd |
|- ( ( A. x e. A C e. B /\ x e. A /\ y = C ) -> y = ( F ` x ) ) |
44 |
43
|
3exp |
|- ( A. x e. A C e. B -> ( x e. A -> ( y = C -> y = ( F ` x ) ) ) ) |
45 |
36 44
|
reximdai |
|- ( A. x e. A C e. B -> ( E. x e. A y = C -> E. x e. A y = ( F ` x ) ) ) |
46 |
45
|
imp |
|- ( ( A. x e. A C e. B /\ E. x e. A y = C ) -> E. x e. A y = ( F ` x ) ) |
47 |
33 35 46
|
syl2anc |
|- ( ( ( A. x e. A C e. B /\ A. y e. B E. x e. A y = C ) /\ y e. B ) -> E. x e. A y = ( F ` x ) ) |
48 |
47
|
ex |
|- ( ( A. x e. A C e. B /\ A. y e. B E. x e. A y = C ) -> ( y e. B -> E. x e. A y = ( F ` x ) ) ) |
49 |
32 48
|
ralrimi |
|- ( ( A. x e. A C e. B /\ A. y e. B E. x e. A y = C ) -> A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) |
50 |
29 49
|
jca |
|- ( ( A. x e. A C e. B /\ A. y e. B E. x e. A y = C ) -> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) ) |
51 |
50 4
|
sylibr |
|- ( ( A. x e. A C e. B /\ A. y e. B E. x e. A y = C ) -> F : A -onto-> B ) |
52 |
27 51
|
impbii |
|- ( F : A -onto-> B <-> ( A. x e. A C e. B /\ A. y e. B E. x e. A y = C ) ) |