Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
isfunc.b |
|- B = ( Base ` D ) |
2 |
|
isfunc.c |
|- C = ( Base ` E ) |
3 |
|
isfunc.h |
|- H = ( Hom ` D ) |
4 |
|
isfunc.j |
|- J = ( Hom ` E ) |
5 |
|
isfunc.1 |
|- .1. = ( Id ` D ) |
6 |
|
isfunc.i |
|- I = ( Id ` E ) |
7 |
|
isfunc.x |
|- .x. = ( comp ` D ) |
8 |
|
isfunc.o |
|- O = ( comp ` E ) |
9 |
|
isfunc.d |
|- ( ph -> D e. Cat ) |
10 |
|
isfunc.e |
|- ( ph -> E e. Cat ) |
11 |
|
isfuncd.1 |
|- ( ph -> F : B --> C ) |
12 |
|
isfuncd.2 |
|- ( ph -> G Fn ( B X. B ) ) |
13 |
|
isfuncd.3 |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ) |
14 |
|
isfuncd.4 |
|- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( x G x ) ` ( .1. ` x ) ) = ( I ` ( F ` x ) ) ) |
15 |
|
isfuncd.5 |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) /\ ( m e. ( x H y ) /\ n e. ( y H z ) ) ) -> ( ( x G z ) ` ( n ( <. x , y >. .x. z ) m ) ) = ( ( ( y G z ) ` n ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. O ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` m ) ) ) |
16 |
1
|
fvexi |
|- B e. _V |
17 |
16 16
|
xpex |
|- ( B X. B ) e. _V |
18 |
|
fnex |
|- ( ( G Fn ( B X. B ) /\ ( B X. B ) e. _V ) -> G e. _V ) |
19 |
12 17 18
|
sylancl |
|- ( ph -> G e. _V ) |
20 |
|
ovex |
|- ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) e. _V |
21 |
|
ovex |
|- ( x H y ) e. _V |
22 |
20 21
|
elmap |
|- ( ( x G y ) e. ( ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ^m ( x H y ) ) <-> ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ) |
23 |
13 22
|
sylibr |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x G y ) e. ( ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ^m ( x H y ) ) ) |
24 |
23
|
ralrimivva |
|- ( ph -> A. x e. B A. y e. B ( x G y ) e. ( ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ^m ( x H y ) ) ) |
25 |
|
fveq2 |
|- ( z = <. x , y >. -> ( G ` z ) = ( G ` <. x , y >. ) ) |
26 |
|
df-ov |
|- ( x G y ) = ( G ` <. x , y >. ) |
27 |
25 26
|
eqtr4di |
|- ( z = <. x , y >. -> ( G ` z ) = ( x G y ) ) |
28 |
|
vex |
|- x e. _V |
29 |
|
vex |
|- y e. _V |
30 |
28 29
|
op1std |
|- ( z = <. x , y >. -> ( 1st ` z ) = x ) |
31 |
30
|
fveq2d |
|- ( z = <. x , y >. -> ( F ` ( 1st ` z ) ) = ( F ` x ) ) |
32 |
28 29
|
op2ndd |
|- ( z = <. x , y >. -> ( 2nd ` z ) = y ) |
33 |
32
|
fveq2d |
|- ( z = <. x , y >. -> ( F ` ( 2nd ` z ) ) = ( F ` y ) ) |
34 |
31 33
|
oveq12d |
|- ( z = <. x , y >. -> ( ( F ` ( 1st ` z ) ) J ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) = ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ) |
35 |
|
fveq2 |
|- ( z = <. x , y >. -> ( H ` z ) = ( H ` <. x , y >. ) ) |
36 |
|
df-ov |
|- ( x H y ) = ( H ` <. x , y >. ) |
37 |
35 36
|
eqtr4di |
|- ( z = <. x , y >. -> ( H ` z ) = ( x H y ) ) |
38 |
34 37
|
oveq12d |
|- ( z = <. x , y >. -> ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) J ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) = ( ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ^m ( x H y ) ) ) |
39 |
27 38
|
eleq12d |
|- ( z = <. x , y >. -> ( ( G ` z ) e. ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) J ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) <-> ( x G y ) e. ( ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ^m ( x H y ) ) ) ) |
40 |
39
|
ralxp |
|- ( A. z e. ( B X. B ) ( G ` z ) e. ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) J ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) <-> A. x e. B A. y e. B ( x G y ) e. ( ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ^m ( x H y ) ) ) |
41 |
24 40
|
sylibr |
|- ( ph -> A. z e. ( B X. B ) ( G ` z ) e. ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) J ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) ) |
42 |
|
elixp2 |
|- ( G e. X_ z e. ( B X. B ) ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) J ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) <-> ( G e. _V /\ G Fn ( B X. B ) /\ A. z e. ( B X. B ) ( G ` z ) e. ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) J ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) ) ) |
43 |
19 12 41 42
|
syl3anbrc |
|- ( ph -> G e. X_ z e. ( B X. B ) ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) J ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) ) |
44 |
15
|
3expia |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( m e. ( x H y ) /\ n e. ( y H z ) ) -> ( ( x G z ) ` ( n ( <. x , y >. .x. z ) m ) ) = ( ( ( y G z ) ` n ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. O ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` m ) ) ) ) |
45 |
44
|
3exp2 |
|- ( ph -> ( x e. B -> ( y e. B -> ( z e. B -> ( ( m e. ( x H y ) /\ n e. ( y H z ) ) -> ( ( x G z ) ` ( n ( <. x , y >. .x. z ) m ) ) = ( ( ( y G z ) ` n ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. O ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` m ) ) ) ) ) ) ) |
46 |
45
|
imp43 |
|- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( m e. ( x H y ) /\ n e. ( y H z ) ) -> ( ( x G z ) ` ( n ( <. x , y >. .x. z ) m ) ) = ( ( ( y G z ) ` n ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. O ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` m ) ) ) ) |
47 |
46
|
ralrimivv |
|- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> A. m e. ( x H y ) A. n e. ( y H z ) ( ( x G z ) ` ( n ( <. x , y >. .x. z ) m ) ) = ( ( ( y G z ) ` n ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. O ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` m ) ) ) |
48 |
47
|
ralrimivva |
|- ( ( ph /\ x e. B ) -> A. y e. B A. z e. B A. m e. ( x H y ) A. n e. ( y H z ) ( ( x G z ) ` ( n ( <. x , y >. .x. z ) m ) ) = ( ( ( y G z ) ` n ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. O ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` m ) ) ) |
49 |
14 48
|
jca |
|- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( ( x G x ) ` ( .1. ` x ) ) = ( I ` ( F ` x ) ) /\ A. y e. B A. z e. B A. m e. ( x H y ) A. n e. ( y H z ) ( ( x G z ) ` ( n ( <. x , y >. .x. z ) m ) ) = ( ( ( y G z ) ` n ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. O ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` m ) ) ) ) |
50 |
49
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. x e. B ( ( ( x G x ) ` ( .1. ` x ) ) = ( I ` ( F ` x ) ) /\ A. y e. B A. z e. B A. m e. ( x H y ) A. n e. ( y H z ) ( ( x G z ) ` ( n ( <. x , y >. .x. z ) m ) ) = ( ( ( y G z ) ` n ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. O ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` m ) ) ) ) |
51 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
|
isfunc |
|- ( ph -> ( F ( D Func E ) G <-> ( F : B --> C /\ G e. X_ z e. ( B X. B ) ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) J ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) /\ A. x e. B ( ( ( x G x ) ` ( .1. ` x ) ) = ( I ` ( F ` x ) ) /\ A. y e. B A. z e. B A. m e. ( x H y ) A. n e. ( y H z ) ( ( x G z ) ` ( n ( <. x , y >. .x. z ) m ) ) = ( ( ( y G z ) ` n ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. O ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` m ) ) ) ) ) ) |
52 |
11 43 50 51
|
mpbir3and |
|- ( ph -> F ( D Func E ) G ) |