Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ineq2 |
|- ( y = v -> ( z i^i y ) = ( z i^i v ) ) |
2 |
1
|
eleq2d |
|- ( y = v -> ( w e. ( z i^i y ) <-> w e. ( z i^i v ) ) ) |
3 |
2
|
eubidv |
|- ( y = v -> ( E! w w e. ( z i^i y ) <-> E! w w e. ( z i^i v ) ) ) |
4 |
3
|
imbi2d |
|- ( y = v -> ( ( ph -> E! w w e. ( z i^i y ) ) <-> ( ph -> E! w w e. ( z i^i v ) ) ) ) |
5 |
4
|
ralbidv |
|- ( y = v -> ( A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i y ) ) <-> A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i v ) ) ) ) |
6 |
5
|
cbvexvw |
|- ( E. y A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i y ) ) <-> E. v A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i v ) ) ) |
7 |
|
indi |
|- ( z i^i ( v u. { u } ) ) = ( ( z i^i v ) u. ( z i^i { u } ) ) |
8 |
|
elssuni |
|- ( z e. x -> z C_ U. x ) |
9 |
8
|
ssneld |
|- ( z e. x -> ( -. u e. U. x -> -. u e. z ) ) |
10 |
|
disjsn |
|- ( ( z i^i { u } ) = (/) <-> -. u e. z ) |
11 |
9 10
|
syl6ibr |
|- ( z e. x -> ( -. u e. U. x -> ( z i^i { u } ) = (/) ) ) |
12 |
11
|
impcom |
|- ( ( -. u e. U. x /\ z e. x ) -> ( z i^i { u } ) = (/) ) |
13 |
12
|
uneq2d |
|- ( ( -. u e. U. x /\ z e. x ) -> ( ( z i^i v ) u. ( z i^i { u } ) ) = ( ( z i^i v ) u. (/) ) ) |
14 |
|
un0 |
|- ( ( z i^i v ) u. (/) ) = ( z i^i v ) |
15 |
13 14
|
eqtrdi |
|- ( ( -. u e. U. x /\ z e. x ) -> ( ( z i^i v ) u. ( z i^i { u } ) ) = ( z i^i v ) ) |
16 |
7 15
|
eqtr2id |
|- ( ( -. u e. U. x /\ z e. x ) -> ( z i^i v ) = ( z i^i ( v u. { u } ) ) ) |
17 |
16
|
eleq2d |
|- ( ( -. u e. U. x /\ z e. x ) -> ( w e. ( z i^i v ) <-> w e. ( z i^i ( v u. { u } ) ) ) ) |
18 |
17
|
eubidv |
|- ( ( -. u e. U. x /\ z e. x ) -> ( E! w w e. ( z i^i v ) <-> E! w w e. ( z i^i ( v u. { u } ) ) ) ) |
19 |
18
|
imbi2d |
|- ( ( -. u e. U. x /\ z e. x ) -> ( ( ph -> E! w w e. ( z i^i v ) ) <-> ( ph -> E! w w e. ( z i^i ( v u. { u } ) ) ) ) ) |
20 |
19
|
ralbidva |
|- ( -. u e. U. x -> ( A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i v ) ) <-> A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i ( v u. { u } ) ) ) ) ) |
21 |
|
vsnid |
|- u e. { u } |
22 |
21
|
olci |
|- ( u e. v \/ u e. { u } ) |
23 |
|
elun |
|- ( u e. ( v u. { u } ) <-> ( u e. v \/ u e. { u } ) ) |
24 |
22 23
|
mpbir |
|- u e. ( v u. { u } ) |
25 |
|
elssuni |
|- ( ( v u. { u } ) e. x -> ( v u. { u } ) C_ U. x ) |
26 |
25
|
sseld |
|- ( ( v u. { u } ) e. x -> ( u e. ( v u. { u } ) -> u e. U. x ) ) |
27 |
24 26
|
mpi |
|- ( ( v u. { u } ) e. x -> u e. U. x ) |
28 |
27
|
con3i |
|- ( -. u e. U. x -> -. ( v u. { u } ) e. x ) |
29 |
28
|
biantrurd |
|- ( -. u e. U. x -> ( A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i ( v u. { u } ) ) ) <-> ( -. ( v u. { u } ) e. x /\ A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i ( v u. { u } ) ) ) ) ) ) |
30 |
20 29
|
bitrd |
|- ( -. u e. U. x -> ( A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i v ) ) <-> ( -. ( v u. { u } ) e. x /\ A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i ( v u. { u } ) ) ) ) ) ) |
31 |
|
vex |
|- v e. _V |
32 |
|
snex |
|- { u } e. _V |
33 |
31 32
|
unex |
|- ( v u. { u } ) e. _V |
34 |
|
eleq1 |
|- ( y = ( v u. { u } ) -> ( y e. x <-> ( v u. { u } ) e. x ) ) |
35 |
34
|
notbid |
|- ( y = ( v u. { u } ) -> ( -. y e. x <-> -. ( v u. { u } ) e. x ) ) |
36 |
|
ineq2 |
|- ( y = ( v u. { u } ) -> ( z i^i y ) = ( z i^i ( v u. { u } ) ) ) |
37 |
36
|
eleq2d |
|- ( y = ( v u. { u } ) -> ( w e. ( z i^i y ) <-> w e. ( z i^i ( v u. { u } ) ) ) ) |
38 |
37
|
eubidv |
|- ( y = ( v u. { u } ) -> ( E! w w e. ( z i^i y ) <-> E! w w e. ( z i^i ( v u. { u } ) ) ) ) |
39 |
38
|
imbi2d |
|- ( y = ( v u. { u } ) -> ( ( ph -> E! w w e. ( z i^i y ) ) <-> ( ph -> E! w w e. ( z i^i ( v u. { u } ) ) ) ) ) |
40 |
39
|
ralbidv |
|- ( y = ( v u. { u } ) -> ( A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i y ) ) <-> A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i ( v u. { u } ) ) ) ) ) |
41 |
35 40
|
anbi12d |
|- ( y = ( v u. { u } ) -> ( ( -. y e. x /\ A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i y ) ) ) <-> ( -. ( v u. { u } ) e. x /\ A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i ( v u. { u } ) ) ) ) ) ) |
42 |
33 41
|
spcev |
|- ( ( -. ( v u. { u } ) e. x /\ A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i ( v u. { u } ) ) ) ) -> E. y ( -. y e. x /\ A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i y ) ) ) ) |
43 |
30 42
|
syl6bi |
|- ( -. u e. U. x -> ( A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i v ) ) -> E. y ( -. y e. x /\ A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i y ) ) ) ) ) |
44 |
|
vuniex |
|- U. x e. _V |
45 |
|
eleq2 |
|- ( y = U. x -> ( u e. y <-> u e. U. x ) ) |
46 |
45
|
notbid |
|- ( y = U. x -> ( -. u e. y <-> -. u e. U. x ) ) |
47 |
46
|
exbidv |
|- ( y = U. x -> ( E. u -. u e. y <-> E. u -. u e. U. x ) ) |
48 |
|
nalset |
|- -. E. y A. u u e. y |
49 |
|
alexn |
|- ( A. y E. u -. u e. y <-> -. E. y A. u u e. y ) |
50 |
48 49
|
mpbir |
|- A. y E. u -. u e. y |
51 |
50
|
spi |
|- E. u -. u e. y |
52 |
44 47 51
|
vtocl |
|- E. u -. u e. U. x |
53 |
43 52
|
exlimiiv |
|- ( A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i v ) ) -> E. y ( -. y e. x /\ A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i y ) ) ) ) |
54 |
53
|
exlimiv |
|- ( E. v A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i v ) ) -> E. y ( -. y e. x /\ A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i y ) ) ) ) |
55 |
6 54
|
sylbi |
|- ( E. y A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i y ) ) -> E. y ( -. y e. x /\ A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i y ) ) ) ) |
56 |
|
exsimpr |
|- ( E. y ( -. y e. x /\ A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i y ) ) ) -> E. y A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i y ) ) ) |
57 |
55 56
|
impbii |
|- ( E. y A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i y ) ) <-> E. y ( -. y e. x /\ A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i y ) ) ) ) |