Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
legval.p |
|- P = ( Base ` G ) |
2 |
|
legval.d |
|- .- = ( dist ` G ) |
3 |
|
legval.i |
|- I = ( Itv ` G ) |
4 |
|
legval.l |
|- .<_ = ( leG ` G ) |
5 |
|
legval.g |
|- ( ph -> G e. TarskiG ) |
6 |
|
legov.a |
|- ( ph -> A e. P ) |
7 |
|
legov.b |
|- ( ph -> B e. P ) |
8 |
|
legov.c |
|- ( ph -> C e. P ) |
9 |
|
legov.d |
|- ( ph -> D e. P ) |
10 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
legov |
|- ( ph -> ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) <-> E. y e. P ( y e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- y ) ) ) ) |
11 |
|
eqid |
|- ( LineG ` G ) = ( LineG ` G ) |
12 |
5
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) -> G e. TarskiG ) |
13 |
8
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) -> C e. P ) |
14 |
|
simplr |
|- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) -> z e. P ) |
15 |
9
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) -> D e. P ) |
16 |
|
eqid |
|- ( cgrG ` G ) = ( cgrG ` G ) |
17 |
6
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) -> A e. P ) |
18 |
7
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) -> B e. P ) |
19 |
|
simprl |
|- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) -> z e. ( C I D ) ) |
20 |
1 11 3 12 13 15 14 19
|
btwncolg1 |
|- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) -> ( z e. ( C ( LineG ` G ) D ) \/ C = D ) ) |
21 |
|
simprr |
|- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) -> ( A .- B ) = ( C .- z ) ) |
22 |
21
|
eqcomd |
|- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) -> ( C .- z ) = ( A .- B ) ) |
23 |
1 11 3 12 13 14 15 16 17 18 2 20 22
|
lnext |
|- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) -> E. x e. P <" C z D "> ( cgrG ` G ) <" A B x "> ) |
24 |
12
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) /\ x e. P ) /\ <" C z D "> ( cgrG ` G ) <" A B x "> ) -> G e. TarskiG ) |
25 |
13
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) /\ x e. P ) /\ <" C z D "> ( cgrG ` G ) <" A B x "> ) -> C e. P ) |
26 |
14
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) /\ x e. P ) /\ <" C z D "> ( cgrG ` G ) <" A B x "> ) -> z e. P ) |
27 |
15
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) /\ x e. P ) /\ <" C z D "> ( cgrG ` G ) <" A B x "> ) -> D e. P ) |
28 |
17
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) /\ x e. P ) /\ <" C z D "> ( cgrG ` G ) <" A B x "> ) -> A e. P ) |
29 |
18
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) /\ x e. P ) /\ <" C z D "> ( cgrG ` G ) <" A B x "> ) -> B e. P ) |
30 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) /\ x e. P ) /\ <" C z D "> ( cgrG ` G ) <" A B x "> ) -> x e. P ) |
31 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) /\ x e. P ) /\ <" C z D "> ( cgrG ` G ) <" A B x "> ) -> <" C z D "> ( cgrG ` G ) <" A B x "> ) |
32 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) /\ x e. P ) /\ <" C z D "> ( cgrG ` G ) <" A B x "> ) -> ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) |
33 |
32
|
simpld |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) /\ x e. P ) /\ <" C z D "> ( cgrG ` G ) <" A B x "> ) -> z e. ( C I D ) ) |
34 |
1 2 3 16 24 25 26 27 28 29 30 31 33
|
tgbtwnxfr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) /\ x e. P ) /\ <" C z D "> ( cgrG ` G ) <" A B x "> ) -> B e. ( A I x ) ) |
35 |
1 2 3 16 24 25 26 27 28 29 30 31
|
trgcgrcom |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) /\ x e. P ) /\ <" C z D "> ( cgrG ` G ) <" A B x "> ) -> <" A B x "> ( cgrG ` G ) <" C z D "> ) |
36 |
1 2 3 16 24 28 29 30 25 26 27 35
|
cgr3simp3 |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) /\ x e. P ) /\ <" C z D "> ( cgrG ` G ) <" A B x "> ) -> ( x .- A ) = ( D .- C ) ) |
37 |
1 2 3 24 30 28 27 25 36
|
tgcgrcomlr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) /\ x e. P ) /\ <" C z D "> ( cgrG ` G ) <" A B x "> ) -> ( A .- x ) = ( C .- D ) ) |
38 |
34 37
|
jca |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) /\ x e. P ) /\ <" C z D "> ( cgrG ` G ) <" A B x "> ) -> ( B e. ( A I x ) /\ ( A .- x ) = ( C .- D ) ) ) |
39 |
38
|
ex |
|- ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) /\ x e. P ) -> ( <" C z D "> ( cgrG ` G ) <" A B x "> -> ( B e. ( A I x ) /\ ( A .- x ) = ( C .- D ) ) ) ) |
40 |
39
|
reximdva |
|- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) -> ( E. x e. P <" C z D "> ( cgrG ` G ) <" A B x "> -> E. x e. P ( B e. ( A I x ) /\ ( A .- x ) = ( C .- D ) ) ) ) |
41 |
23 40
|
mpd |
|- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) -> E. x e. P ( B e. ( A I x ) /\ ( A .- x ) = ( C .- D ) ) ) |
42 |
41
|
adantllr |
|- ( ( ( ( ph /\ E. y e. P ( y e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- y ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) -> E. x e. P ( B e. ( A I x ) /\ ( A .- x ) = ( C .- D ) ) ) |
43 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ E. y e. P ( y e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- y ) ) ) -> E. y e. P ( y e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- y ) ) ) |
44 |
|
eleq1 |
|- ( y = z -> ( y e. ( C I D ) <-> z e. ( C I D ) ) ) |
45 |
|
oveq2 |
|- ( y = z -> ( C .- y ) = ( C .- z ) ) |
46 |
45
|
eqeq2d |
|- ( y = z -> ( ( A .- B ) = ( C .- y ) <-> ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) |
47 |
44 46
|
anbi12d |
|- ( y = z -> ( ( y e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- y ) ) <-> ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) ) |
48 |
47
|
cbvrexvw |
|- ( E. y e. P ( y e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- y ) ) <-> E. z e. P ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) |
49 |
43 48
|
sylib |
|- ( ( ph /\ E. y e. P ( y e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- y ) ) ) -> E. z e. P ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) |
50 |
42 49
|
r19.29a |
|- ( ( ph /\ E. y e. P ( y e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- y ) ) ) -> E. x e. P ( B e. ( A I x ) /\ ( A .- x ) = ( C .- D ) ) ) |
51 |
5
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) -> G e. TarskiG ) |
52 |
6
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) -> A e. P ) |
53 |
|
simplr |
|- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) -> z e. P ) |
54 |
7
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) -> B e. P ) |
55 |
8
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) -> C e. P ) |
56 |
9
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) -> D e. P ) |
57 |
|
simprl |
|- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) -> B e. ( A I z ) ) |
58 |
1 11 3 51 52 54 53 57
|
btwncolg3 |
|- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) -> ( z e. ( A ( LineG ` G ) B ) \/ A = B ) ) |
59 |
|
simprr |
|- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) -> ( A .- z ) = ( C .- D ) ) |
60 |
1 11 3 51 52 53 54 16 55 56 2 58 59
|
lnext |
|- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) -> E. y e. P <" A z B "> ( cgrG ` G ) <" C D y "> ) |
61 |
51
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) /\ y e. P ) /\ <" A z B "> ( cgrG ` G ) <" C D y "> ) -> G e. TarskiG ) |
62 |
52
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) /\ y e. P ) /\ <" A z B "> ( cgrG ` G ) <" C D y "> ) -> A e. P ) |
63 |
54
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) /\ y e. P ) /\ <" A z B "> ( cgrG ` G ) <" C D y "> ) -> B e. P ) |
64 |
53
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) /\ y e. P ) /\ <" A z B "> ( cgrG ` G ) <" C D y "> ) -> z e. P ) |
65 |
55
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) /\ y e. P ) /\ <" A z B "> ( cgrG ` G ) <" C D y "> ) -> C e. P ) |
66 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) /\ y e. P ) /\ <" A z B "> ( cgrG ` G ) <" C D y "> ) -> y e. P ) |
67 |
56
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) /\ y e. P ) /\ <" A z B "> ( cgrG ` G ) <" C D y "> ) -> D e. P ) |
68 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) /\ y e. P ) /\ <" A z B "> ( cgrG ` G ) <" C D y "> ) -> <" A z B "> ( cgrG ` G ) <" C D y "> ) |
69 |
1 2 3 16 61 62 64 63 65 67 66 68
|
cgr3swap23 |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) /\ y e. P ) /\ <" A z B "> ( cgrG ` G ) <" C D y "> ) -> <" A B z "> ( cgrG ` G ) <" C y D "> ) |
70 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) /\ y e. P ) /\ <" A z B "> ( cgrG ` G ) <" C D y "> ) -> ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) |
71 |
70
|
simpld |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) /\ y e. P ) /\ <" A z B "> ( cgrG ` G ) <" C D y "> ) -> B e. ( A I z ) ) |
72 |
1 2 3 16 61 62 63 64 65 66 67 69 71
|
tgbtwnxfr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) /\ y e. P ) /\ <" A z B "> ( cgrG ` G ) <" C D y "> ) -> y e. ( C I D ) ) |
73 |
1 2 3 16 61 62 64 63 65 67 66 68
|
cgr3simp3 |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) /\ y e. P ) /\ <" A z B "> ( cgrG ` G ) <" C D y "> ) -> ( B .- A ) = ( y .- C ) ) |
74 |
1 2 3 61 63 62 66 65 73
|
tgcgrcomlr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) /\ y e. P ) /\ <" A z B "> ( cgrG ` G ) <" C D y "> ) -> ( A .- B ) = ( C .- y ) ) |
75 |
72 74
|
jca |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) /\ y e. P ) /\ <" A z B "> ( cgrG ` G ) <" C D y "> ) -> ( y e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- y ) ) ) |
76 |
75
|
ex |
|- ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) /\ y e. P ) -> ( <" A z B "> ( cgrG ` G ) <" C D y "> -> ( y e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- y ) ) ) ) |
77 |
76
|
reximdva |
|- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) -> ( E. y e. P <" A z B "> ( cgrG ` G ) <" C D y "> -> E. y e. P ( y e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- y ) ) ) ) |
78 |
60 77
|
mpd |
|- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) -> E. y e. P ( y e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- y ) ) ) |
79 |
78
|
adantllr |
|- ( ( ( ( ph /\ E. x e. P ( B e. ( A I x ) /\ ( A .- x ) = ( C .- D ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) -> E. y e. P ( y e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- y ) ) ) |
80 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ E. x e. P ( B e. ( A I x ) /\ ( A .- x ) = ( C .- D ) ) ) -> E. x e. P ( B e. ( A I x ) /\ ( A .- x ) = ( C .- D ) ) ) |
81 |
|
oveq2 |
|- ( x = z -> ( A I x ) = ( A I z ) ) |
82 |
81
|
eleq2d |
|- ( x = z -> ( B e. ( A I x ) <-> B e. ( A I z ) ) ) |
83 |
|
oveq2 |
|- ( x = z -> ( A .- x ) = ( A .- z ) ) |
84 |
83
|
eqeq1d |
|- ( x = z -> ( ( A .- x ) = ( C .- D ) <-> ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) |
85 |
82 84
|
anbi12d |
|- ( x = z -> ( ( B e. ( A I x ) /\ ( A .- x ) = ( C .- D ) ) <-> ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) ) |
86 |
85
|
cbvrexvw |
|- ( E. x e. P ( B e. ( A I x ) /\ ( A .- x ) = ( C .- D ) ) <-> E. z e. P ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) |
87 |
80 86
|
sylib |
|- ( ( ph /\ E. x e. P ( B e. ( A I x ) /\ ( A .- x ) = ( C .- D ) ) ) -> E. z e. P ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) |
88 |
79 87
|
r19.29a |
|- ( ( ph /\ E. x e. P ( B e. ( A I x ) /\ ( A .- x ) = ( C .- D ) ) ) -> E. y e. P ( y e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- y ) ) ) |
89 |
50 88
|
impbida |
|- ( ph -> ( E. y e. P ( y e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- y ) ) <-> E. x e. P ( B e. ( A I x ) /\ ( A .- x ) = ( C .- D ) ) ) ) |
90 |
10 89
|
bitrd |
|- ( ph -> ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) <-> E. x e. P ( B e. ( A I x ) /\ ( A .- x ) = ( C .- D ) ) ) ) |