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Theorem llnexchb2lem

Description: Lemma for llnexchb2 . (Contributed by NM, 17-Nov-2012)

Ref Expression
Hypotheses llnexch.l
|- .<_ = ( le ` K )
llnexch.j
|- .\/ = ( join ` K )
llnexch.m
|- ./\ = ( meet ` K )
llnexch.a
|- A = ( Atoms ` K )
llnexch.n
|- N = ( LLines ` K )
Assertion llnexchb2lem
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> ( ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) <-> ( X ./\ Y ) = ( X ./\ ( P .\/ Q ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 llnexch.l
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 llnexch.j
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 llnexch.m
 |-  ./\ = ( meet ` K )
4 llnexch.a
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 llnexch.n
 |-  N = ( LLines ` K )
6 simpl11
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> K e. HL )
7 simpl21
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> P e. A )
8 simpl12
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> X e. N )
9 eqid
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
10 9 5 llnbase
 |-  ( X e. N -> X e. ( Base ` K ) )
11 8 10 syl
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> X e. ( Base ` K ) )
12 6 hllatd
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> K e. Lat )
13 simpl13
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> Y e. N )
14 9 5 llnbase
 |-  ( Y e. N -> Y e. ( Base ` K ) )
15 13 14 syl
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> Y e. ( Base ` K ) )
16 9 3 latmcl
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) )
17 12 11 15 16 syl3anc
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) )
18 9 1 3 latmle1
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( X ./\ Y ) .<_ X )
19 12 11 15 18 syl3anc
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( X ./\ Y ) .<_ X )
20 9 1 2 3 4 atmod2i2
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. ( Base ` K ) /\ ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ X ) -> ( ( X ./\ P ) .\/ ( X ./\ Y ) ) = ( X ./\ ( P .\/ ( X ./\ Y ) ) ) )
21 6 7 11 17 19 20 syl131anc
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( ( X ./\ P ) .\/ ( X ./\ Y ) ) = ( X ./\ ( P .\/ ( X ./\ Y ) ) ) )
22 9 4 atbase
 |-  ( P e. A -> P e. ( Base ` K ) )
23 7 22 syl
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> P e. ( Base ` K ) )
24 9 3 latmcom
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ P e. ( Base ` K ) ) -> ( X ./\ P ) = ( P ./\ X ) )
25 12 11 23 24 syl3anc
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( X ./\ P ) = ( P ./\ X ) )
26 simpl23
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> -. P .<_ X )
27 hlatl
 |-  ( K e. HL -> K e. AtLat )
28 6 27 syl
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> K e. AtLat )
29 eqid
 |-  ( 0. ` K ) = ( 0. ` K )
30 9 1 3 29 4 atnle
 |-  ( ( K e. AtLat /\ P e. A /\ X e. ( Base ` K ) ) -> ( -. P .<_ X <-> ( P ./\ X ) = ( 0. ` K ) ) )
31 28 7 11 30 syl3anc
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( -. P .<_ X <-> ( P ./\ X ) = ( 0. ` K ) ) )
32 26 31 mpbid
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( P ./\ X ) = ( 0. ` K ) )
33 25 32 eqtrd
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( X ./\ P ) = ( 0. ` K ) )
34 33 oveq1d
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( ( X ./\ P ) .\/ ( X ./\ Y ) ) = ( ( 0. ` K ) .\/ ( X ./\ Y ) ) )
35 simpr
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) )
36 hlcvl
 |-  ( K e. HL -> K e. CvLat )
37 6 36 syl
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> K e. CvLat )
38 simpl3
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( X ./\ Y ) e. A )
39 simpl22
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> Q e. A )
40 breq1
 |-  ( P = ( X ./\ Y ) -> ( P .<_ X <-> ( X ./\ Y ) .<_ X ) )
41 19 40 syl5ibrcom
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( P = ( X ./\ Y ) -> P .<_ X ) )
42 41 necon3bd
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( -. P .<_ X -> P =/= ( X ./\ Y ) ) )
43 26 42 mpd
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> P =/= ( X ./\ Y ) )
44 43 necomd
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( X ./\ Y ) =/= P )
45 1 2 4 cvlatexchb1
 |-  ( ( K e. CvLat /\ ( ( X ./\ Y ) e. A /\ Q e. A /\ P e. A ) /\ ( X ./\ Y ) =/= P ) -> ( ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) <-> ( P .\/ ( X ./\ Y ) ) = ( P .\/ Q ) ) )
46 37 38 39 7 44 45 syl131anc
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) <-> ( P .\/ ( X ./\ Y ) ) = ( P .\/ Q ) ) )
47 35 46 mpbid
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( P .\/ ( X ./\ Y ) ) = ( P .\/ Q ) )
48 47 oveq2d
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( X ./\ ( P .\/ ( X ./\ Y ) ) ) = ( X ./\ ( P .\/ Q ) ) )
49 21 34 48 3eqtr3rd
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( X ./\ ( P .\/ Q ) ) = ( ( 0. ` K ) .\/ ( X ./\ Y ) ) )
50 hlol
 |-  ( K e. HL -> K e. OL )
51 6 50 syl
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> K e. OL )
52 9 2 29 olj02
 |-  ( ( K e. OL /\ ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( 0. ` K ) .\/ ( X ./\ Y ) ) = ( X ./\ Y ) )
53 51 17 52 syl2anc
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( ( 0. ` K ) .\/ ( X ./\ Y ) ) = ( X ./\ Y ) )
54 49 53 eqtr2d
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( X ./\ Y ) = ( X ./\ ( P .\/ Q ) ) )
55 54 ex
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> ( ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) -> ( X ./\ Y ) = ( X ./\ ( P .\/ Q ) ) ) )
56 simp11
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> K e. HL )
57 56 hllatd
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> K e. Lat )
58 simp12
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> X e. N )
59 58 10 syl
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> X e. ( Base ` K ) )
60 simp21
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> P e. A )
61 simp22
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> Q e. A )
62 9 2 4 hlatjcl
 |-  ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) )
63 56 60 61 62 syl3anc
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) )
64 9 1 3 latmle2
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) ) -> ( X ./\ ( P .\/ Q ) ) .<_ ( P .\/ Q ) )
65 57 59 63 64 syl3anc
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> ( X ./\ ( P .\/ Q ) ) .<_ ( P .\/ Q ) )
66 breq1
 |-  ( ( X ./\ Y ) = ( X ./\ ( P .\/ Q ) ) -> ( ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) <-> ( X ./\ ( P .\/ Q ) ) .<_ ( P .\/ Q ) ) )
67 65 66 syl5ibrcom
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> ( ( X ./\ Y ) = ( X ./\ ( P .\/ Q ) ) -> ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) ) )
68 55 67 impbid
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ -. P .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> ( ( X ./\ Y ) .<_ ( P .\/ Q ) <-> ( X ./\ Y ) = ( X ./\ ( P .\/ Q ) ) ) )