Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lmclim2.2 |
|- ( ph -> D e. ( Met ` X ) ) |
2 |
|
lmclim2.3 |
|- ( ph -> F : NN --> X ) |
3 |
|
lmclim2.4 |
|- J = ( MetOpen ` D ) |
4 |
|
lmclim2.5 |
|- G = ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) D Y ) ) |
5 |
|
lmclim2.6 |
|- ( ph -> Y e. X ) |
6 |
|
metxmet |
|- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) ) |
7 |
1 6
|
syl |
|- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) ) |
8 |
|
nnuz |
|- NN = ( ZZ>= ` 1 ) |
9 |
|
1zzd |
|- ( ph -> 1 e. ZZ ) |
10 |
|
eqidd |
|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) ) |
11 |
3 7 8 9 10 2
|
lmmbrf |
|- ( ph -> ( F ( ~~>t ` J ) Y <-> ( Y e. X /\ A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) D Y ) < x ) ) ) |
12 |
|
nnex |
|- NN e. _V |
13 |
12
|
mptex |
|- ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) D Y ) ) e. _V |
14 |
4 13
|
eqeltri |
|- G e. _V |
15 |
14
|
a1i |
|- ( ph -> G e. _V ) |
16 |
|
fveq2 |
|- ( x = k -> ( F ` x ) = ( F ` k ) ) |
17 |
16
|
oveq1d |
|- ( x = k -> ( ( F ` x ) D Y ) = ( ( F ` k ) D Y ) ) |
18 |
|
ovex |
|- ( ( F ` k ) D Y ) e. _V |
19 |
17 4 18
|
fvmpt |
|- ( k e. NN -> ( G ` k ) = ( ( F ` k ) D Y ) ) |
20 |
19
|
adantl |
|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) = ( ( F ` k ) D Y ) ) |
21 |
1
|
adantr |
|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> D e. ( Met ` X ) ) |
22 |
2
|
ffvelrnda |
|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. X ) |
23 |
5
|
adantr |
|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> Y e. X ) |
24 |
|
metcl |
|- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( F ` k ) e. X /\ Y e. X ) -> ( ( F ` k ) D Y ) e. RR ) |
25 |
21 22 23 24
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) D Y ) e. RR ) |
26 |
25
|
recnd |
|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) D Y ) e. CC ) |
27 |
8 9 15 20 26
|
clim0c |
|- ( ph -> ( G ~~> 0 <-> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) D Y ) ) < x ) ) |
28 |
|
eluznn |
|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN ) |
29 |
|
metge0 |
|- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( F ` k ) e. X /\ Y e. X ) -> 0 <_ ( ( F ` k ) D Y ) ) |
30 |
21 22 23 29
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( ( F ` k ) D Y ) ) |
31 |
25 30
|
absidd |
|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) D Y ) ) = ( ( F ` k ) D Y ) ) |
32 |
31
|
breq1d |
|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) D Y ) ) < x <-> ( ( F ` k ) D Y ) < x ) ) |
33 |
28 32
|
sylan2 |
|- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) D Y ) ) < x <-> ( ( F ` k ) D Y ) < x ) ) |
34 |
33
|
anassrs |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) D Y ) ) < x <-> ( ( F ` k ) D Y ) < x ) ) |
35 |
34
|
ralbidva |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) D Y ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) D Y ) < x ) ) |
36 |
35
|
rexbidva |
|- ( ph -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) D Y ) ) < x <-> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) D Y ) < x ) ) |
37 |
36
|
ralbidv |
|- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) D Y ) ) < x <-> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) D Y ) < x ) ) |
38 |
5
|
biantrurd |
|- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) D Y ) < x <-> ( Y e. X /\ A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) D Y ) < x ) ) ) |
39 |
27 37 38
|
3bitrrd |
|- ( ph -> ( ( Y e. X /\ A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) D Y ) < x ) <-> G ~~> 0 ) ) |
40 |
11 39
|
bitrd |
|- ( ph -> ( F ( ~~>t ` J ) Y <-> G ~~> 0 ) ) |