Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
odcl.1 |
|- X = ( Base ` G ) |
2 |
|
odcl.2 |
|- O = ( od ` G ) |
3 |
|
odid.3 |
|- .x. = ( .g ` G ) |
4 |
|
odid.4 |
|- .0. = ( 0g ` G ) |
5 |
|
oveq1 |
|- ( ( M mod ( O ` A ) ) = ( N mod ( O ` A ) ) -> ( ( M mod ( O ` A ) ) .x. A ) = ( ( N mod ( O ` A ) ) .x. A ) ) |
6 |
|
simp2l |
|- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> M e. NN0 ) |
7 |
6
|
nn0zd |
|- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> M e. ZZ ) |
8 |
|
simp3 |
|- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( O ` A ) e. NN ) |
9 |
7 8
|
zmodcld |
|- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( M mod ( O ` A ) ) e. NN0 ) |
10 |
9
|
adantr |
|- ( ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ ( ( M mod ( O ` A ) ) .x. A ) = ( ( N mod ( O ` A ) ) .x. A ) ) -> ( M mod ( O ` A ) ) e. NN0 ) |
11 |
10
|
nn0red |
|- ( ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ ( ( M mod ( O ` A ) ) .x. A ) = ( ( N mod ( O ` A ) ) .x. A ) ) -> ( M mod ( O ` A ) ) e. RR ) |
12 |
|
simp2r |
|- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> N e. NN0 ) |
13 |
12
|
nn0zd |
|- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> N e. ZZ ) |
14 |
13 8
|
zmodcld |
|- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( N mod ( O ` A ) ) e. NN0 ) |
15 |
14
|
adantr |
|- ( ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ ( ( M mod ( O ` A ) ) .x. A ) = ( ( N mod ( O ` A ) ) .x. A ) ) -> ( N mod ( O ` A ) ) e. NN0 ) |
16 |
15
|
nn0red |
|- ( ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ ( ( M mod ( O ` A ) ) .x. A ) = ( ( N mod ( O ` A ) ) .x. A ) ) -> ( N mod ( O ` A ) ) e. RR ) |
17 |
|
simp1l |
|- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> G e. Mnd ) |
18 |
17
|
adantr |
|- ( ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ ( ( M mod ( O ` A ) ) .x. A ) = ( ( N mod ( O ` A ) ) .x. A ) ) -> G e. Mnd ) |
19 |
|
simp1r |
|- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> A e. X ) |
20 |
19
|
adantr |
|- ( ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ ( ( M mod ( O ` A ) ) .x. A ) = ( ( N mod ( O ` A ) ) .x. A ) ) -> A e. X ) |
21 |
8
|
adantr |
|- ( ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ ( ( M mod ( O ` A ) ) .x. A ) = ( ( N mod ( O ` A ) ) .x. A ) ) -> ( O ` A ) e. NN ) |
22 |
6
|
nn0red |
|- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> M e. RR ) |
23 |
8
|
nnrpd |
|- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( O ` A ) e. RR+ ) |
24 |
|
modlt |
|- ( ( M e. RR /\ ( O ` A ) e. RR+ ) -> ( M mod ( O ` A ) ) < ( O ` A ) ) |
25 |
22 23 24
|
syl2anc |
|- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( M mod ( O ` A ) ) < ( O ` A ) ) |
26 |
25
|
adantr |
|- ( ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ ( ( M mod ( O ` A ) ) .x. A ) = ( ( N mod ( O ` A ) ) .x. A ) ) -> ( M mod ( O ` A ) ) < ( O ` A ) ) |
27 |
12
|
nn0red |
|- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> N e. RR ) |
28 |
|
modlt |
|- ( ( N e. RR /\ ( O ` A ) e. RR+ ) -> ( N mod ( O ` A ) ) < ( O ` A ) ) |
29 |
27 23 28
|
syl2anc |
|- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( N mod ( O ` A ) ) < ( O ` A ) ) |
30 |
29
|
adantr |
|- ( ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ ( ( M mod ( O ` A ) ) .x. A ) = ( ( N mod ( O ` A ) ) .x. A ) ) -> ( N mod ( O ` A ) ) < ( O ` A ) ) |
31 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ ( ( M mod ( O ` A ) ) .x. A ) = ( ( N mod ( O ` A ) ) .x. A ) ) -> ( ( M mod ( O ` A ) ) .x. A ) = ( ( N mod ( O ` A ) ) .x. A ) ) |
32 |
1 2 3 4 18 20 21 10 15 26 30 31
|
mndodconglem |
|- ( ( ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ ( ( M mod ( O ` A ) ) .x. A ) = ( ( N mod ( O ` A ) ) .x. A ) ) /\ ( M mod ( O ` A ) ) <_ ( N mod ( O ` A ) ) ) -> ( M mod ( O ` A ) ) = ( N mod ( O ` A ) ) ) |
33 |
31
|
eqcomd |
|- ( ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ ( ( M mod ( O ` A ) ) .x. A ) = ( ( N mod ( O ` A ) ) .x. A ) ) -> ( ( N mod ( O ` A ) ) .x. A ) = ( ( M mod ( O ` A ) ) .x. A ) ) |
34 |
1 2 3 4 18 20 21 15 10 30 26 33
|
mndodconglem |
|- ( ( ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ ( ( M mod ( O ` A ) ) .x. A ) = ( ( N mod ( O ` A ) ) .x. A ) ) /\ ( N mod ( O ` A ) ) <_ ( M mod ( O ` A ) ) ) -> ( N mod ( O ` A ) ) = ( M mod ( O ` A ) ) ) |
35 |
34
|
eqcomd |
|- ( ( ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ ( ( M mod ( O ` A ) ) .x. A ) = ( ( N mod ( O ` A ) ) .x. A ) ) /\ ( N mod ( O ` A ) ) <_ ( M mod ( O ` A ) ) ) -> ( M mod ( O ` A ) ) = ( N mod ( O ` A ) ) ) |
36 |
11 16 32 35
|
lecasei |
|- ( ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ ( ( M mod ( O ` A ) ) .x. A ) = ( ( N mod ( O ` A ) ) .x. A ) ) -> ( M mod ( O ` A ) ) = ( N mod ( O ` A ) ) ) |
37 |
36
|
ex |
|- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( ( ( M mod ( O ` A ) ) .x. A ) = ( ( N mod ( O ` A ) ) .x. A ) -> ( M mod ( O ` A ) ) = ( N mod ( O ` A ) ) ) ) |
38 |
5 37
|
impbid2 |
|- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( ( M mod ( O ` A ) ) = ( N mod ( O ` A ) ) <-> ( ( M mod ( O ` A ) ) .x. A ) = ( ( N mod ( O ` A ) ) .x. A ) ) ) |
39 |
|
moddvds |
|- ( ( ( O ` A ) e. NN /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M mod ( O ` A ) ) = ( N mod ( O ` A ) ) <-> ( O ` A ) || ( M - N ) ) ) |
40 |
8 7 13 39
|
syl3anc |
|- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( ( M mod ( O ` A ) ) = ( N mod ( O ` A ) ) <-> ( O ` A ) || ( M - N ) ) ) |
41 |
1 2 3 4
|
odmodnn0 |
|- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X /\ M e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( ( M mod ( O ` A ) ) .x. A ) = ( M .x. A ) ) |
42 |
17 19 6 8 41
|
syl31anc |
|- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( ( M mod ( O ` A ) ) .x. A ) = ( M .x. A ) ) |
43 |
1 2 3 4
|
odmodnn0 |
|- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X /\ N e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( ( N mod ( O ` A ) ) .x. A ) = ( N .x. A ) ) |
44 |
17 19 12 8 43
|
syl31anc |
|- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( ( N mod ( O ` A ) ) .x. A ) = ( N .x. A ) ) |
45 |
42 44
|
eqeq12d |
|- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( ( ( M mod ( O ` A ) ) .x. A ) = ( ( N mod ( O ` A ) ) .x. A ) <-> ( M .x. A ) = ( N .x. A ) ) ) |
46 |
38 40 45
|
3bitr3d |
|- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. X ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( ( O ` A ) || ( M - N ) <-> ( M .x. A ) = ( N .x. A ) ) ) |