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Theorem mpct

Description: The exponentiation of a countable set to a finite set is countable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020)

Ref Expression
Hypotheses mpct.a 
|- ( ph -> A ~<_ _om )
mpct.b 
|- ( ph -> B e. Fin )
Assertion mpct 
|- ( ph -> ( A ^m B ) ~<_ _om )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mpct.a 
 |-  ( ph -> A ~<_ _om )
2 mpct.b 
 |-  ( ph -> B e. Fin )
3 oveq2 
 |-  ( x = (/) -> ( A ^m x ) = ( A ^m (/) ) )
4 3 breq1d 
 |-  ( x = (/) -> ( ( A ^m x ) ~<_ _om <-> ( A ^m (/) ) ~<_ _om ) )
5 oveq2 
 |-  ( x = y -> ( A ^m x ) = ( A ^m y ) )
6 5 breq1d 
 |-  ( x = y -> ( ( A ^m x ) ~<_ _om <-> ( A ^m y ) ~<_ _om ) )
7 oveq2 
 |-  ( x = ( y u. { z } ) -> ( A ^m x ) = ( A ^m ( y u. { z } ) ) )
8 7 breq1d 
 |-  ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( A ^m x ) ~<_ _om <-> ( A ^m ( y u. { z } ) ) ~<_ _om ) )
9 oveq2 
 |-  ( x = B -> ( A ^m x ) = ( A ^m B ) )
10 9 breq1d 
 |-  ( x = B -> ( ( A ^m x ) ~<_ _om <-> ( A ^m B ) ~<_ _om ) )
11 ctex 
 |-  ( A ~<_ _om -> A e. _V )
12 1 11 syl 
 |-  ( ph -> A e. _V )
13 mapdm0 
 |-  ( A e. _V -> ( A ^m (/) ) = { (/) } )
14 12 13 syl 
 |-  ( ph -> ( A ^m (/) ) = { (/) } )
15 snfi 
 |-  { (/) } e. Fin
16 fict 
 |-  ( { (/) } e. Fin -> { (/) } ~<_ _om )
17 15 16 ax-mp 
 |-  { (/) } ~<_ _om
18 17 a1i 
 |-  ( ph -> { (/) } ~<_ _om )
19 14 18 eqbrtrd 
 |-  ( ph -> ( A ^m (/) ) ~<_ _om )
20 vex 
 |-  y e. _V
21 20 a1i 
 |-  ( ( ( ph /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) ~<_ _om ) -> y e. _V )
22 snex 
 |-  { z } e. _V
23 22 a1i 
 |-  ( ( ( ph /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) ~<_ _om ) -> { z } e. _V )
24 12 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) ~<_ _om ) -> A e. _V )
25 eldifn 
 |-  ( z e. ( B \ y ) -> -. z e. y )
26 disjsn 
 |-  ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
27 25 26 sylibr 
 |-  ( z e. ( B \ y ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
28 27 adantl 
 |-  ( ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
29 28 ad2antlr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) ~<_ _om ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
30 mapunen 
 |-  ( ( ( y e. _V /\ { z } e. _V /\ A e. _V ) /\ ( y i^i { z } ) = (/) ) -> ( A ^m ( y u. { z } ) ) ~~ ( ( A ^m y ) X. ( A ^m { z } ) ) )
31 21 23 24 29 30 syl31anc 
 |-  ( ( ( ph /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) ~<_ _om ) -> ( A ^m ( y u. { z } ) ) ~~ ( ( A ^m y ) X. ( A ^m { z } ) ) )
32 simpr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) ~<_ _om ) -> ( A ^m y ) ~<_ _om )
33 vex 
 |-  z e. _V
34 33 a1i 
 |-  ( ph -> z e. _V )
35 12 34 mapsnend 
 |-  ( ph -> ( A ^m { z } ) ~~ A )
36 endomtr 
 |-  ( ( ( A ^m { z } ) ~~ A /\ A ~<_ _om ) -> ( A ^m { z } ) ~<_ _om )
37 35 1 36 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( A ^m { z } ) ~<_ _om )
38 37 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) ~<_ _om ) -> ( A ^m { z } ) ~<_ _om )
39 xpct 
 |-  ( ( ( A ^m y ) ~<_ _om /\ ( A ^m { z } ) ~<_ _om ) -> ( ( A ^m y ) X. ( A ^m { z } ) ) ~<_ _om )
40 32 38 39 syl2anc 
 |-  ( ( ( ph /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) ~<_ _om ) -> ( ( A ^m y ) X. ( A ^m { z } ) ) ~<_ _om )
41 endomtr 
 |-  ( ( ( A ^m ( y u. { z } ) ) ~~ ( ( A ^m y ) X. ( A ^m { z } ) ) /\ ( ( A ^m y ) X. ( A ^m { z } ) ) ~<_ _om ) -> ( A ^m ( y u. { z } ) ) ~<_ _om )
42 31 40 41 syl2anc 
 |-  ( ( ( ph /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) ~<_ _om ) -> ( A ^m ( y u. { z } ) ) ~<_ _om )
43 42 ex 
 |-  ( ( ph /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) -> ( ( A ^m y ) ~<_ _om -> ( A ^m ( y u. { z } ) ) ~<_ _om ) )
44 4 6 8 10 19 43 2 findcard2d 
 |-  ( ph -> ( A ^m B ) ~<_ _om )