Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
oacomf1o.1 |
|- F = ( ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. `' ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) |
2 |
|
eqid |
|- ( x e. A |-> ( B +o x ) ) = ( x e. A |-> ( B +o x ) ) |
3 |
2
|
oacomf1olem |
|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ( x e. A |-> ( B +o x ) ) : A -1-1-onto-> ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) /\ ( ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) i^i B ) = (/) ) ) |
4 |
3
|
simpld |
|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( x e. A |-> ( B +o x ) ) : A -1-1-onto-> ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) ) |
5 |
|
eqid |
|- ( x e. B |-> ( A +o x ) ) = ( x e. B |-> ( A +o x ) ) |
6 |
5
|
oacomf1olem |
|- ( ( B e. On /\ A e. On ) -> ( ( x e. B |-> ( A +o x ) ) : B -1-1-onto-> ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) /\ ( ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) i^i A ) = (/) ) ) |
7 |
6
|
ancoms |
|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ( x e. B |-> ( A +o x ) ) : B -1-1-onto-> ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) /\ ( ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) i^i A ) = (/) ) ) |
8 |
7
|
simpld |
|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( x e. B |-> ( A +o x ) ) : B -1-1-onto-> ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) |
9 |
|
f1ocnv |
|- ( ( x e. B |-> ( A +o x ) ) : B -1-1-onto-> ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) -> `' ( x e. B |-> ( A +o x ) ) : ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) -1-1-onto-> B ) |
10 |
8 9
|
syl |
|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> `' ( x e. B |-> ( A +o x ) ) : ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) -1-1-onto-> B ) |
11 |
|
incom |
|- ( A i^i ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) = ( ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) i^i A ) |
12 |
7
|
simprd |
|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) i^i A ) = (/) ) |
13 |
11 12
|
eqtrid |
|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A i^i ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) = (/) ) |
14 |
3
|
simprd |
|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) i^i B ) = (/) ) |
15 |
|
f1oun |
|- ( ( ( ( x e. A |-> ( B +o x ) ) : A -1-1-onto-> ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) /\ `' ( x e. B |-> ( A +o x ) ) : ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) = (/) /\ ( ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) i^i B ) = (/) ) ) -> ( ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. `' ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) : ( A u. ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) -1-1-onto-> ( ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. B ) ) |
16 |
4 10 13 14 15
|
syl22anc |
|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. `' ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) : ( A u. ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) -1-1-onto-> ( ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. B ) ) |
17 |
|
f1oeq1 |
|- ( F = ( ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. `' ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) -> ( F : ( A u. ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) -1-1-onto-> ( ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. B ) <-> ( ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. `' ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) : ( A u. ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) -1-1-onto-> ( ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. B ) ) ) |
18 |
1 17
|
ax-mp |
|- ( F : ( A u. ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) -1-1-onto-> ( ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. B ) <-> ( ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. `' ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) : ( A u. ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) -1-1-onto-> ( ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. B ) ) |
19 |
16 18
|
sylibr |
|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> F : ( A u. ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) -1-1-onto-> ( ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. B ) ) |
20 |
|
oarec |
|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) = ( A u. ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) ) |
21 |
20
|
f1oeq2d |
|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( F : ( A +o B ) -1-1-onto-> ( ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. B ) <-> F : ( A u. ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) -1-1-onto-> ( ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. B ) ) ) |
22 |
19 21
|
mpbird |
|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> F : ( A +o B ) -1-1-onto-> ( ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. B ) ) |
23 |
|
oarec |
|- ( ( B e. On /\ A e. On ) -> ( B +o A ) = ( B u. ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) ) ) |
24 |
23
|
ancoms |
|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( B +o A ) = ( B u. ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) ) ) |
25 |
|
uncom |
|- ( B u. ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) ) = ( ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. B ) |
26 |
24 25
|
eqtrdi |
|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( B +o A ) = ( ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. B ) ) |
27 |
26
|
f1oeq3d |
|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( F : ( A +o B ) -1-1-onto-> ( B +o A ) <-> F : ( A +o B ) -1-1-onto-> ( ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. B ) ) ) |
28 |
22 27
|
mpbird |
|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> F : ( A +o B ) -1-1-onto-> ( B +o A ) ) |