Theorem r1omhf

Description: A set is hereditarily finite iff it is finite and all of its elements are hereditarily finite. (Contributed by BTernaryTau, 19-Jan-2026)

	Ref	Expression
Assertion	r1omhf	|- ( A e. U. ( R1 " _om ) <-> ( A e. Fin /\ A. x e. A x e. U. ( R1 " _om ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elhf4	|- ( A e. HF <-> ( A e. Fin /\ A. x e. A x e. HF ) )
2		df-hf	|- HF = U. ( R1 " _om )
3	2	eleq2i	|- ( A e. HF <-> A e. U. ( R1 " _om ) )
4	2	eleq2i	|- ( x e. HF <-> x e. U. ( R1 " _om ) )
5	4	ralbii	|- ( A. x e. A x e. HF <-> A. x e. A x e. U. ( R1 " _om ) )
6	5	anbi2i	|- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A x e. HF ) <-> ( A e. Fin /\ A. x e. A x e. U. ( R1 " _om ) ) )
7	1 3 6	3bitr3i	|- ( A e. U. ( R1 " _om ) <-> ( A e. Fin /\ A. x e. A x e. U. ( R1 " _om ) ) )