Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
rhmsubcrngc.c |
|- C = ( RngCat ` U ) |
2 |
|
rhmsubcrngc.u |
|- ( ph -> U e. V ) |
3 |
|
rhmsubcrngc.b |
|- ( ph -> B = ( Ring i^i U ) ) |
4 |
|
rhmsubcrngc.h |
|- ( ph -> H = ( RingHom |` ( B X. B ) ) ) |
5 |
|
simpl |
|- ( ( ph /\ x e. B ) -> ph ) |
6 |
5
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> ph ) |
7 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( y e. B /\ z e. B ) ) |
8 |
7
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> ( y e. B /\ z e. B ) ) |
9 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> g e. ( y H z ) ) |
10 |
4
|
rhmresel |
|- ( ( ph /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ g e. ( y H z ) ) -> g e. ( y RingHom z ) ) |
11 |
6 8 9 10
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> g e. ( y RingHom z ) ) |
12 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ x e. B ) -> x e. B ) |
13 |
|
simpl |
|- ( ( y e. B /\ z e. B ) -> y e. B ) |
14 |
12 13
|
anim12i |
|- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( x e. B /\ y e. B ) ) |
15 |
14
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> ( x e. B /\ y e. B ) ) |
16 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> f e. ( x H y ) ) |
17 |
4
|
rhmresel |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) /\ f e. ( x H y ) ) -> f e. ( x RingHom y ) ) |
18 |
6 15 16 17
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> f e. ( x RingHom y ) ) |
19 |
|
rhmco |
|- ( ( g e. ( y RingHom z ) /\ f e. ( x RingHom y ) ) -> ( g o. f ) e. ( x RingHom z ) ) |
20 |
11 18 19
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> ( g o. f ) e. ( x RingHom z ) ) |
21 |
2
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. B ) -> U e. V ) |
22 |
21
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> U e. V ) |
23 |
|
eqid |
|- ( comp ` C ) = ( comp ` C ) |
24 |
3
|
eleq2d |
|- ( ph -> ( x e. B <-> x e. ( Ring i^i U ) ) ) |
25 |
|
elinel2 |
|- ( x e. ( Ring i^i U ) -> x e. U ) |
26 |
24 25
|
syl6bi |
|- ( ph -> ( x e. B -> x e. U ) ) |
27 |
26
|
imp |
|- ( ( ph /\ x e. B ) -> x e. U ) |
28 |
27
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> x e. U ) |
29 |
3
|
eleq2d |
|- ( ph -> ( y e. B <-> y e. ( Ring i^i U ) ) ) |
30 |
|
elinel2 |
|- ( y e. ( Ring i^i U ) -> y e. U ) |
31 |
29 30
|
syl6bi |
|- ( ph -> ( y e. B -> y e. U ) ) |
32 |
31
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( y e. B -> y e. U ) ) |
33 |
32
|
com12 |
|- ( y e. B -> ( ( ph /\ x e. B ) -> y e. U ) ) |
34 |
33
|
adantr |
|- ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( ( ph /\ x e. B ) -> y e. U ) ) |
35 |
34
|
impcom |
|- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> y e. U ) |
36 |
35
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> y e. U ) |
37 |
3
|
eleq2d |
|- ( ph -> ( z e. B <-> z e. ( Ring i^i U ) ) ) |
38 |
|
elinel2 |
|- ( z e. ( Ring i^i U ) -> z e. U ) |
39 |
37 38
|
syl6bi |
|- ( ph -> ( z e. B -> z e. U ) ) |
40 |
39
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( z e. B -> z e. U ) ) |
41 |
40
|
adantld |
|- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( y e. B /\ z e. B ) -> z e. U ) ) |
42 |
41
|
imp |
|- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> z e. U ) |
43 |
42
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> z e. U ) |
44 |
|
simprl |
|- ( ( y e. B /\ ( ph /\ x e. B ) ) -> ph ) |
45 |
44
|
adantr |
|- ( ( ( y e. B /\ ( ph /\ x e. B ) ) /\ f e. ( x H y ) ) -> ph ) |
46 |
12
|
anim1i |
|- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> ( x e. B /\ y e. B ) ) |
47 |
46
|
ancoms |
|- ( ( y e. B /\ ( ph /\ x e. B ) ) -> ( x e. B /\ y e. B ) ) |
48 |
47
|
adantr |
|- ( ( ( y e. B /\ ( ph /\ x e. B ) ) /\ f e. ( x H y ) ) -> ( x e. B /\ y e. B ) ) |
49 |
|
simpr |
|- ( ( ( y e. B /\ ( ph /\ x e. B ) ) /\ f e. ( x H y ) ) -> f e. ( x H y ) ) |
50 |
45 48 49 17
|
syl3anc |
|- ( ( ( y e. B /\ ( ph /\ x e. B ) ) /\ f e. ( x H y ) ) -> f e. ( x RingHom y ) ) |
51 |
|
eqid |
|- ( Base ` x ) = ( Base ` x ) |
52 |
|
eqid |
|- ( Base ` y ) = ( Base ` y ) |
53 |
51 52
|
rhmf |
|- ( f e. ( x RingHom y ) -> f : ( Base ` x ) --> ( Base ` y ) ) |
54 |
50 53
|
syl |
|- ( ( ( y e. B /\ ( ph /\ x e. B ) ) /\ f e. ( x H y ) ) -> f : ( Base ` x ) --> ( Base ` y ) ) |
55 |
54
|
exp31 |
|- ( y e. B -> ( ( ph /\ x e. B ) -> ( f e. ( x H y ) -> f : ( Base ` x ) --> ( Base ` y ) ) ) ) |
56 |
55
|
adantr |
|- ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( ( ph /\ x e. B ) -> ( f e. ( x H y ) -> f : ( Base ` x ) --> ( Base ` y ) ) ) ) |
57 |
56
|
impcom |
|- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( f e. ( x H y ) -> f : ( Base ` x ) --> ( Base ` y ) ) ) |
58 |
57
|
com12 |
|- ( f e. ( x H y ) -> ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> f : ( Base ` x ) --> ( Base ` y ) ) ) |
59 |
58
|
adantr |
|- ( ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) -> ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> f : ( Base ` x ) --> ( Base ` y ) ) ) |
60 |
59
|
impcom |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> f : ( Base ` x ) --> ( Base ` y ) ) |
61 |
10
|
3expa |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ g e. ( y H z ) ) -> g e. ( y RingHom z ) ) |
62 |
|
eqid |
|- ( Base ` z ) = ( Base ` z ) |
63 |
52 62
|
rhmf |
|- ( g e. ( y RingHom z ) -> g : ( Base ` y ) --> ( Base ` z ) ) |
64 |
61 63
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ g e. ( y H z ) ) -> g : ( Base ` y ) --> ( Base ` z ) ) |
65 |
64
|
ex |
|- ( ( ph /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( g e. ( y H z ) -> g : ( Base ` y ) --> ( Base ` z ) ) ) |
66 |
65
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( g e. ( y H z ) -> g : ( Base ` y ) --> ( Base ` z ) ) ) |
67 |
66
|
adantld |
|- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) -> g : ( Base ` y ) --> ( Base ` z ) ) ) |
68 |
67
|
imp |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> g : ( Base ` y ) --> ( Base ` z ) ) |
69 |
1 22 23 28 36 43 60 68
|
rngcco |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. ( comp ` C ) z ) f ) = ( g o. f ) ) |
70 |
4
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. B ) -> H = ( RingHom |` ( B X. B ) ) ) |
71 |
70
|
oveqdr |
|- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( x H z ) = ( x ( RingHom |` ( B X. B ) ) z ) ) |
72 |
|
ovres |
|- ( ( x e. B /\ z e. B ) -> ( x ( RingHom |` ( B X. B ) ) z ) = ( x RingHom z ) ) |
73 |
72
|
ad2ant2l |
|- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( x ( RingHom |` ( B X. B ) ) z ) = ( x RingHom z ) ) |
74 |
71 73
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( x H z ) = ( x RingHom z ) ) |
75 |
74
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> ( x H z ) = ( x RingHom z ) ) |
76 |
20 69 75
|
3eltr4d |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. ( comp ` C ) z ) f ) e. ( x H z ) ) |
77 |
76
|
ralrimivva |
|- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( g ( <. x , y >. ( comp ` C ) z ) f ) e. ( x H z ) ) |
78 |
77
|
ralrimivva |
|- ( ( ph /\ x e. B ) -> A. y e. B A. z e. B A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( g ( <. x , y >. ( comp ` C ) z ) f ) e. ( x H z ) ) |