Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
riotasvd.1 |
|- ( ph -> D = ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) ) |
2 |
|
riotasvd.2 |
|- ( ph -> D e. A ) |
3 |
1
|
adantr |
|- ( ( ph /\ A e. V ) -> D = ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) ) |
4 |
2
|
adantr |
|- ( ( ph /\ A e. V ) -> D e. A ) |
5 |
3 4
|
eqeltrrd |
|- ( ( ph /\ A e. V ) -> ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) e. A ) |
6 |
|
riotaclbgBAD |
|- ( A e. V -> ( E! x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) <-> ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) e. A ) ) |
7 |
6
|
adantl |
|- ( ( ph /\ A e. V ) -> ( E! x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) <-> ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) e. A ) ) |
8 |
5 7
|
mpbird |
|- ( ( ph /\ A e. V ) -> E! x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) |
9 |
|
riotasbc |
|- ( E! x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) -> [. ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) / x ]. A. y e. B ( ps -> x = C ) ) |
10 |
8 9
|
syl |
|- ( ( ph /\ A e. V ) -> [. ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) / x ]. A. y e. B ( ps -> x = C ) ) |
11 |
|
eqeq1 |
|- ( x = z -> ( x = C <-> z = C ) ) |
12 |
11
|
imbi2d |
|- ( x = z -> ( ( ps -> x = C ) <-> ( ps -> z = C ) ) ) |
13 |
12
|
ralbidv |
|- ( x = z -> ( A. y e. B ( ps -> x = C ) <-> A. y e. B ( ps -> z = C ) ) ) |
14 |
|
nfra1 |
|- F/ y A. y e. B ( ps -> x = C ) |
15 |
|
nfcv |
|- F/_ y A |
16 |
14 15
|
nfriota |
|- F/_ y ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) |
17 |
16
|
nfeq2 |
|- F/ y z = ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) |
18 |
|
eqeq1 |
|- ( z = ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) -> ( z = C <-> ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) = C ) ) |
19 |
18
|
imbi2d |
|- ( z = ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) -> ( ( ps -> z = C ) <-> ( ps -> ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) = C ) ) ) |
20 |
17 19
|
ralbid |
|- ( z = ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) -> ( A. y e. B ( ps -> z = C ) <-> A. y e. B ( ps -> ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) = C ) ) ) |
21 |
13 20
|
sbcie2g |
|- ( ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) e. A -> ( [. ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) / x ]. A. y e. B ( ps -> x = C ) <-> A. y e. B ( ps -> ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) = C ) ) ) |
22 |
5 21
|
syl |
|- ( ( ph /\ A e. V ) -> ( [. ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) / x ]. A. y e. B ( ps -> x = C ) <-> A. y e. B ( ps -> ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) = C ) ) ) |
23 |
10 22
|
mpbid |
|- ( ( ph /\ A e. V ) -> A. y e. B ( ps -> ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) = C ) ) |
24 |
|
rsp |
|- ( A. y e. B ( ps -> ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) = C ) -> ( y e. B -> ( ps -> ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) = C ) ) ) |
25 |
23 24
|
syl |
|- ( ( ph /\ A e. V ) -> ( y e. B -> ( ps -> ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) = C ) ) ) |
26 |
25
|
impd |
|- ( ( ph /\ A e. V ) -> ( ( y e. B /\ ps ) -> ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) = C ) ) |
27 |
3
|
eqeq1d |
|- ( ( ph /\ A e. V ) -> ( D = C <-> ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) = C ) ) |
28 |
26 27
|
sylibrd |
|- ( ( ph /\ A e. V ) -> ( ( y e. B /\ ps ) -> D = C ) ) |