Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
rlim2.1 |
|- ( ph -> A. z e. A B e. CC ) |
2 |
|
rlim2.2 |
|- ( ph -> A C_ RR ) |
3 |
|
rlim2.3 |
|- ( ph -> C e. CC ) |
4 |
|
rlim3.4 |
|- ( ph -> D e. RR ) |
5 |
1 2 3
|
rlim2 |
|- ( ph -> ( ( z e. A |-> B ) ~~>r C <-> A. x e. RR+ E. w e. RR A. z e. A ( w <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) ) |
6 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ w e. RR ) -> w e. RR ) |
7 |
4
|
adantr |
|- ( ( ph /\ w e. RR ) -> D e. RR ) |
8 |
6 7
|
ifcld |
|- ( ( ph /\ w e. RR ) -> if ( D <_ w , w , D ) e. RR ) |
9 |
|
max1 |
|- ( ( D e. RR /\ w e. RR ) -> D <_ if ( D <_ w , w , D ) ) |
10 |
4 9
|
sylan |
|- ( ( ph /\ w e. RR ) -> D <_ if ( D <_ w , w , D ) ) |
11 |
|
elicopnf |
|- ( D e. RR -> ( if ( D <_ w , w , D ) e. ( D [,) +oo ) <-> ( if ( D <_ w , w , D ) e. RR /\ D <_ if ( D <_ w , w , D ) ) ) ) |
12 |
7 11
|
syl |
|- ( ( ph /\ w e. RR ) -> ( if ( D <_ w , w , D ) e. ( D [,) +oo ) <-> ( if ( D <_ w , w , D ) e. RR /\ D <_ if ( D <_ w , w , D ) ) ) ) |
13 |
8 10 12
|
mpbir2and |
|- ( ( ph /\ w e. RR ) -> if ( D <_ w , w , D ) e. ( D [,) +oo ) ) |
14 |
2 4
|
jca |
|- ( ph -> ( A C_ RR /\ D e. RR ) ) |
15 |
|
max2 |
|- ( ( D e. RR /\ w e. RR ) -> w <_ if ( D <_ w , w , D ) ) |
16 |
15
|
ad4ant23 |
|- ( ( ( ( A C_ RR /\ D e. RR ) /\ w e. RR ) /\ z e. A ) -> w <_ if ( D <_ w , w , D ) ) |
17 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( A C_ RR /\ D e. RR ) /\ w e. RR ) /\ z e. A ) -> w e. RR ) |
18 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( A C_ RR /\ D e. RR ) /\ w e. RR ) /\ z e. A ) -> D e. RR ) |
19 |
17 18
|
ifcld |
|- ( ( ( ( A C_ RR /\ D e. RR ) /\ w e. RR ) /\ z e. A ) -> if ( D <_ w , w , D ) e. RR ) |
20 |
|
simpll |
|- ( ( ( A C_ RR /\ D e. RR ) /\ w e. RR ) -> A C_ RR ) |
21 |
20
|
sselda |
|- ( ( ( ( A C_ RR /\ D e. RR ) /\ w e. RR ) /\ z e. A ) -> z e. RR ) |
22 |
|
letr |
|- ( ( w e. RR /\ if ( D <_ w , w , D ) e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( w <_ if ( D <_ w , w , D ) /\ if ( D <_ w , w , D ) <_ z ) -> w <_ z ) ) |
23 |
17 19 21 22
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( A C_ RR /\ D e. RR ) /\ w e. RR ) /\ z e. A ) -> ( ( w <_ if ( D <_ w , w , D ) /\ if ( D <_ w , w , D ) <_ z ) -> w <_ z ) ) |
24 |
16 23
|
mpand |
|- ( ( ( ( A C_ RR /\ D e. RR ) /\ w e. RR ) /\ z e. A ) -> ( if ( D <_ w , w , D ) <_ z -> w <_ z ) ) |
25 |
24
|
imim1d |
|- ( ( ( ( A C_ RR /\ D e. RR ) /\ w e. RR ) /\ z e. A ) -> ( ( w <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) -> ( if ( D <_ w , w , D ) <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) ) |
26 |
25
|
ralimdva |
|- ( ( ( A C_ RR /\ D e. RR ) /\ w e. RR ) -> ( A. z e. A ( w <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) -> A. z e. A ( if ( D <_ w , w , D ) <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) ) |
27 |
14 26
|
sylan |
|- ( ( ph /\ w e. RR ) -> ( A. z e. A ( w <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) -> A. z e. A ( if ( D <_ w , w , D ) <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) ) |
28 |
|
breq1 |
|- ( y = if ( D <_ w , w , D ) -> ( y <_ z <-> if ( D <_ w , w , D ) <_ z ) ) |
29 |
28
|
rspceaimv |
|- ( ( if ( D <_ w , w , D ) e. ( D [,) +oo ) /\ A. z e. A ( if ( D <_ w , w , D ) <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) -> E. y e. ( D [,) +oo ) A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) |
30 |
13 27 29
|
syl6an |
|- ( ( ph /\ w e. RR ) -> ( A. z e. A ( w <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) -> E. y e. ( D [,) +oo ) A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) ) |
31 |
30
|
rexlimdva |
|- ( ph -> ( E. w e. RR A. z e. A ( w <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) -> E. y e. ( D [,) +oo ) A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) ) |
32 |
31
|
ralimdv |
|- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. w e. RR A. z e. A ( w <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. y e. ( D [,) +oo ) A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) ) |
33 |
5 32
|
sylbid |
|- ( ph -> ( ( z e. A |-> B ) ~~>r C -> A. x e. RR+ E. y e. ( D [,) +oo ) A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) ) |
34 |
|
pnfxr |
|- +oo e. RR* |
35 |
|
icossre |
|- ( ( D e. RR /\ +oo e. RR* ) -> ( D [,) +oo ) C_ RR ) |
36 |
4 34 35
|
sylancl |
|- ( ph -> ( D [,) +oo ) C_ RR ) |
37 |
|
ssrexv |
|- ( ( D [,) +oo ) C_ RR -> ( E. y e. ( D [,) +oo ) A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) -> E. y e. RR A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) ) |
38 |
36 37
|
syl |
|- ( ph -> ( E. y e. ( D [,) +oo ) A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) -> E. y e. RR A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) ) |
39 |
38
|
ralimdv |
|- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. y e. ( D [,) +oo ) A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) ) |
40 |
1 2 3
|
rlim2 |
|- ( ph -> ( ( z e. A |-> B ) ~~>r C <-> A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) ) |
41 |
39 40
|
sylibrd |
|- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. y e. ( D [,) +oo ) A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) -> ( z e. A |-> B ) ~~>r C ) ) |
42 |
33 41
|
impbid |
|- ( ph -> ( ( z e. A |-> B ) ~~>r C <-> A. x e. RR+ E. y e. ( D [,) +oo ) A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) ) |