Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
sumsplit.1 |
|- Z = ( ZZ>= ` M ) |
2 |
|
sumsplit.2 |
|- ( ph -> M e. ZZ ) |
3 |
|
sumsplit.3 |
|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) ) |
4 |
|
sumsplit.4 |
|- ( ph -> ( A u. B ) C_ Z ) |
5 |
|
sumsplit.5 |
|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , C , 0 ) ) |
6 |
|
sumsplit.6 |
|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = if ( k e. B , C , 0 ) ) |
7 |
|
sumsplit.7 |
|- ( ( ph /\ k e. ( A u. B ) ) -> C e. CC ) |
8 |
|
sumsplit.8 |
|- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> ) |
9 |
|
sumsplit.9 |
|- ( ph -> seq M ( + , G ) e. dom ~~> ) |
10 |
7
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. k e. ( A u. B ) C e. CC ) |
11 |
1
|
eqimssi |
|- Z C_ ( ZZ>= ` M ) |
12 |
11
|
a1i |
|- ( ph -> Z C_ ( ZZ>= ` M ) ) |
13 |
12
|
orcd |
|- ( ph -> ( Z C_ ( ZZ>= ` M ) \/ Z e. Fin ) ) |
14 |
|
sumss2 |
|- ( ( ( ( A u. B ) C_ Z /\ A. k e. ( A u. B ) C e. CC ) /\ ( Z C_ ( ZZ>= ` M ) \/ Z e. Fin ) ) -> sum_ k e. ( A u. B ) C = sum_ k e. Z if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) ) |
15 |
4 10 13 14
|
syl21anc |
|- ( ph -> sum_ k e. ( A u. B ) C = sum_ k e. Z if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) ) |
16 |
|
iftrue |
|- ( k e. A -> if ( k e. A , C , 0 ) = C ) |
17 |
16
|
adantl |
|- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , C , 0 ) = C ) |
18 |
|
elun1 |
|- ( k e. A -> k e. ( A u. B ) ) |
19 |
18 7
|
sylan2 |
|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC ) |
20 |
17 19
|
eqeltrd |
|- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , C , 0 ) e. CC ) |
21 |
|
iffalse |
|- ( -. k e. A -> if ( k e. A , C , 0 ) = 0 ) |
22 |
|
0cn |
|- 0 e. CC |
23 |
21 22
|
eqeltrdi |
|- ( -. k e. A -> if ( k e. A , C , 0 ) e. CC ) |
24 |
23
|
adantl |
|- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> if ( k e. A , C , 0 ) e. CC ) |
25 |
20 24
|
pm2.61dan |
|- ( ph -> if ( k e. A , C , 0 ) e. CC ) |
26 |
25
|
adantr |
|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. A , C , 0 ) e. CC ) |
27 |
|
iftrue |
|- ( k e. B -> if ( k e. B , C , 0 ) = C ) |
28 |
27
|
adantl |
|- ( ( ph /\ k e. B ) -> if ( k e. B , C , 0 ) = C ) |
29 |
|
elun2 |
|- ( k e. B -> k e. ( A u. B ) ) |
30 |
29 7
|
sylan2 |
|- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC ) |
31 |
28 30
|
eqeltrd |
|- ( ( ph /\ k e. B ) -> if ( k e. B , C , 0 ) e. CC ) |
32 |
|
iffalse |
|- ( -. k e. B -> if ( k e. B , C , 0 ) = 0 ) |
33 |
32 22
|
eqeltrdi |
|- ( -. k e. B -> if ( k e. B , C , 0 ) e. CC ) |
34 |
33
|
adantl |
|- ( ( ph /\ -. k e. B ) -> if ( k e. B , C , 0 ) e. CC ) |
35 |
31 34
|
pm2.61dan |
|- ( ph -> if ( k e. B , C , 0 ) e. CC ) |
36 |
35
|
adantr |
|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. B , C , 0 ) e. CC ) |
37 |
1 2 5 26 6 36 8 9
|
isumadd |
|- ( ph -> sum_ k e. Z ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( sum_ k e. Z if ( k e. A , C , 0 ) + sum_ k e. Z if ( k e. B , C , 0 ) ) ) |
38 |
19
|
addid1d |
|- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( C + 0 ) = C ) |
39 |
|
noel |
|- -. k e. (/) |
40 |
3
|
eleq2d |
|- ( ph -> ( k e. ( A i^i B ) <-> k e. (/) ) ) |
41 |
|
elin |
|- ( k e. ( A i^i B ) <-> ( k e. A /\ k e. B ) ) |
42 |
40 41
|
bitr3di |
|- ( ph -> ( k e. (/) <-> ( k e. A /\ k e. B ) ) ) |
43 |
39 42
|
mtbii |
|- ( ph -> -. ( k e. A /\ k e. B ) ) |
44 |
|
imnan |
|- ( ( k e. A -> -. k e. B ) <-> -. ( k e. A /\ k e. B ) ) |
45 |
43 44
|
sylibr |
|- ( ph -> ( k e. A -> -. k e. B ) ) |
46 |
45
|
imp |
|- ( ( ph /\ k e. A ) -> -. k e. B ) |
47 |
46 32
|
syl |
|- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. B , C , 0 ) = 0 ) |
48 |
17 47
|
oveq12d |
|- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( C + 0 ) ) |
49 |
|
iftrue |
|- ( k e. ( A u. B ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = C ) |
50 |
18 49
|
syl |
|- ( k e. A -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = C ) |
51 |
50
|
adantl |
|- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = C ) |
52 |
38 48 51
|
3eqtr4rd |
|- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) ) |
53 |
35
|
addid2d |
|- ( ph -> ( 0 + if ( k e. B , C , 0 ) ) = if ( k e. B , C , 0 ) ) |
54 |
53
|
adantr |
|- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> ( 0 + if ( k e. B , C , 0 ) ) = if ( k e. B , C , 0 ) ) |
55 |
21
|
adantl |
|- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> if ( k e. A , C , 0 ) = 0 ) |
56 |
55
|
oveq1d |
|- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( 0 + if ( k e. B , C , 0 ) ) ) |
57 |
|
elun |
|- ( k e. ( A u. B ) <-> ( k e. A \/ k e. B ) ) |
58 |
|
biorf |
|- ( -. k e. A -> ( k e. B <-> ( k e. A \/ k e. B ) ) ) |
59 |
57 58
|
bitr4id |
|- ( -. k e. A -> ( k e. ( A u. B ) <-> k e. B ) ) |
60 |
59
|
adantl |
|- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> ( k e. ( A u. B ) <-> k e. B ) ) |
61 |
60
|
ifbid |
|- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = if ( k e. B , C , 0 ) ) |
62 |
54 56 61
|
3eqtr4rd |
|- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) ) |
63 |
52 62
|
pm2.61dan |
|- ( ph -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) ) |
64 |
63
|
sumeq2sdv |
|- ( ph -> sum_ k e. Z if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = sum_ k e. Z ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) ) |
65 |
4
|
unssad |
|- ( ph -> A C_ Z ) |
66 |
19
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. k e. A C e. CC ) |
67 |
|
sumss2 |
|- ( ( ( A C_ Z /\ A. k e. A C e. CC ) /\ ( Z C_ ( ZZ>= ` M ) \/ Z e. Fin ) ) -> sum_ k e. A C = sum_ k e. Z if ( k e. A , C , 0 ) ) |
68 |
65 66 13 67
|
syl21anc |
|- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. Z if ( k e. A , C , 0 ) ) |
69 |
4
|
unssbd |
|- ( ph -> B C_ Z ) |
70 |
30
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. k e. B C e. CC ) |
71 |
|
sumss2 |
|- ( ( ( B C_ Z /\ A. k e. B C e. CC ) /\ ( Z C_ ( ZZ>= ` M ) \/ Z e. Fin ) ) -> sum_ k e. B C = sum_ k e. Z if ( k e. B , C , 0 ) ) |
72 |
69 70 13 71
|
syl21anc |
|- ( ph -> sum_ k e. B C = sum_ k e. Z if ( k e. B , C , 0 ) ) |
73 |
68 72
|
oveq12d |
|- ( ph -> ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) = ( sum_ k e. Z if ( k e. A , C , 0 ) + sum_ k e. Z if ( k e. B , C , 0 ) ) ) |
74 |
37 64 73
|
3eqtr4rd |
|- ( ph -> ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) = sum_ k e. Z if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) ) |
75 |
15 74
|
eqtr4d |
|- ( ph -> sum_ k e. ( A u. B ) C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) ) |