Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
tendoid0.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
tendoid0.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
3 |
|
tendoid0.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
4 |
|
tendoid0.e |
|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W ) |
5 |
|
tendoid0.o |
|- O = ( f e. T |-> ( _I |` B ) ) |
6 |
1 2 3
|
cdlemftr0 |
|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> E. g e. T g =/= ( _I |` B ) ) |
7 |
6
|
adantr |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E ) -> E. g e. T g =/= ( _I |` B ) ) |
8 |
|
simpll |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E ) /\ ( g e. T /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
9 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E ) /\ ( g e. T /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) -> U e. E ) |
10 |
1 2 3 4 5
|
tendo0cl |
|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> O e. E ) |
11 |
10
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E ) /\ ( g e. T /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) -> O e. E ) |
12 |
2 4
|
tendococl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E /\ O e. E ) -> ( U o. O ) e. E ) |
13 |
8 9 11 12
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E ) /\ ( g e. T /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( U o. O ) e. E ) |
14 |
5 1
|
tendo02 |
|- ( g e. T -> ( O ` g ) = ( _I |` B ) ) |
15 |
14
|
ad2antrl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E ) /\ ( g e. T /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( O ` g ) = ( _I |` B ) ) |
16 |
15
|
fveq2d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E ) /\ ( g e. T /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( U ` ( O ` g ) ) = ( U ` ( _I |` B ) ) ) |
17 |
1 2 4
|
tendoid |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E ) -> ( U ` ( _I |` B ) ) = ( _I |` B ) ) |
18 |
17
|
adantr |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E ) /\ ( g e. T /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( U ` ( _I |` B ) ) = ( _I |` B ) ) |
19 |
16 18
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E ) /\ ( g e. T /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( U ` ( O ` g ) ) = ( _I |` B ) ) |
20 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E ) /\ ( g e. T /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) -> g e. T ) |
21 |
2 3 4
|
tendocoval |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ O e. E ) /\ g e. T ) -> ( ( U o. O ) ` g ) = ( U ` ( O ` g ) ) ) |
22 |
8 9 11 20 21
|
syl121anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E ) /\ ( g e. T /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( ( U o. O ) ` g ) = ( U ` ( O ` g ) ) ) |
23 |
19 22 15
|
3eqtr4d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E ) /\ ( g e. T /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( ( U o. O ) ` g ) = ( O ` g ) ) |
24 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E ) /\ ( g e. T /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( g e. T /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) |
25 |
1 2 3 4
|
tendocan |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( U o. O ) e. E /\ O e. E /\ ( ( U o. O ) ` g ) = ( O ` g ) ) /\ ( g e. T /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( U o. O ) = O ) |
26 |
8 13 11 23 24 25
|
syl131anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E ) /\ ( g e. T /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( U o. O ) = O ) |
27 |
7 26
|
rexlimddv |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E ) -> ( U o. O ) = O ) |