Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fvex |
|- ( topGen ` B ) e. _V |
2 |
|
eltg3 |
|- ( ( topGen ` B ) e. _V -> ( x e. ( topGen ` ( topGen ` B ) ) <-> E. y ( y C_ ( topGen ` B ) /\ x = U. y ) ) ) |
3 |
1 2
|
ax-mp |
|- ( x e. ( topGen ` ( topGen ` B ) ) <-> E. y ( y C_ ( topGen ` B ) /\ x = U. y ) ) |
4 |
|
uniiun |
|- U. y = U_ z e. y z |
5 |
|
simpr |
|- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> y C_ ( topGen ` B ) ) |
6 |
5
|
sselda |
|- ( ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) /\ z e. y ) -> z e. ( topGen ` B ) ) |
7 |
|
eltg4i |
|- ( z e. ( topGen ` B ) -> z = U. ( B i^i ~P z ) ) |
8 |
6 7
|
syl |
|- ( ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) /\ z e. y ) -> z = U. ( B i^i ~P z ) ) |
9 |
8
|
iuneq2dv |
|- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> U_ z e. y z = U_ z e. y U. ( B i^i ~P z ) ) |
10 |
4 9
|
eqtrid |
|- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> U. y = U_ z e. y U. ( B i^i ~P z ) ) |
11 |
|
iuncom4 |
|- U_ z e. y U. ( B i^i ~P z ) = U. U_ z e. y ( B i^i ~P z ) |
12 |
10 11
|
eqtrdi |
|- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> U. y = U. U_ z e. y ( B i^i ~P z ) ) |
13 |
|
inss1 |
|- ( B i^i ~P z ) C_ B |
14 |
13
|
rgenw |
|- A. z e. y ( B i^i ~P z ) C_ B |
15 |
|
iunss |
|- ( U_ z e. y ( B i^i ~P z ) C_ B <-> A. z e. y ( B i^i ~P z ) C_ B ) |
16 |
14 15
|
mpbir |
|- U_ z e. y ( B i^i ~P z ) C_ B |
17 |
16
|
a1i |
|- ( y C_ ( topGen ` B ) -> U_ z e. y ( B i^i ~P z ) C_ B ) |
18 |
|
eltg3i |
|- ( ( B e. V /\ U_ z e. y ( B i^i ~P z ) C_ B ) -> U. U_ z e. y ( B i^i ~P z ) e. ( topGen ` B ) ) |
19 |
17 18
|
sylan2 |
|- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> U. U_ z e. y ( B i^i ~P z ) e. ( topGen ` B ) ) |
20 |
12 19
|
eqeltrd |
|- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> U. y e. ( topGen ` B ) ) |
21 |
|
eleq1 |
|- ( x = U. y -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> U. y e. ( topGen ` B ) ) ) |
22 |
20 21
|
syl5ibrcom |
|- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> ( x = U. y -> x e. ( topGen ` B ) ) ) |
23 |
22
|
expimpd |
|- ( B e. V -> ( ( y C_ ( topGen ` B ) /\ x = U. y ) -> x e. ( topGen ` B ) ) ) |
24 |
23
|
exlimdv |
|- ( B e. V -> ( E. y ( y C_ ( topGen ` B ) /\ x = U. y ) -> x e. ( topGen ` B ) ) ) |
25 |
3 24
|
syl5bi |
|- ( B e. V -> ( x e. ( topGen ` ( topGen ` B ) ) -> x e. ( topGen ` B ) ) ) |
26 |
25
|
ssrdv |
|- ( B e. V -> ( topGen ` ( topGen ` B ) ) C_ ( topGen ` B ) ) |
27 |
|
bastg |
|- ( B e. V -> B C_ ( topGen ` B ) ) |
28 |
|
tgss |
|- ( ( ( topGen ` B ) e. _V /\ B C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` ( topGen ` B ) ) ) |
29 |
1 27 28
|
sylancr |
|- ( B e. V -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` ( topGen ` B ) ) ) |
30 |
26 29
|
eqssd |
|- ( B e. V -> ( topGen ` ( topGen ` B ) ) = ( topGen ` B ) ) |