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Theorem trfbas

Description: Conditions for the trace of a filter base F to be a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015)

Ref Expression
Assertion trfbas 
|- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( F |`t A ) e. ( fBas ` A ) <-> A. v e. F ( v i^i A ) =/= (/) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 trfbas2 
 |-  ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( F |`t A ) e. ( fBas ` A ) <-> -. (/) e. ( F |`t A ) ) )
2 elfvdm 
 |-  ( F e. ( fBas ` Y ) -> Y e. dom fBas )
3 ssexg 
 |-  ( ( A C_ Y /\ Y e. dom fBas ) -> A e. _V )
4 3 ancoms 
 |-  ( ( Y e. dom fBas /\ A C_ Y ) -> A e. _V )
5 2 4 sylan 
 |-  ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) -> A e. _V )
6 elrest 
 |-  ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A e. _V ) -> ( (/) e. ( F |`t A ) <-> E. v e. F (/) = ( v i^i A ) ) )
7 5 6 syldan 
 |-  ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( (/) e. ( F |`t A ) <-> E. v e. F (/) = ( v i^i A ) ) )
8 7 notbid 
 |-  ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( -. (/) e. ( F |`t A ) <-> -. E. v e. F (/) = ( v i^i A ) ) )
9 nesym 
 |-  ( ( v i^i A ) =/= (/) <-> -. (/) = ( v i^i A ) )
10 9 ralbii 
 |-  ( A. v e. F ( v i^i A ) =/= (/) <-> A. v e. F -. (/) = ( v i^i A ) )
11 ralnex 
 |-  ( A. v e. F -. (/) = ( v i^i A ) <-> -. E. v e. F (/) = ( v i^i A ) )
12 10 11 bitri 
 |-  ( A. v e. F ( v i^i A ) =/= (/) <-> -. E. v e. F (/) = ( v i^i A ) )
13 8 12 bitr4di 
 |-  ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( -. (/) e. ( F |`t A ) <-> A. v e. F ( v i^i A ) =/= (/) ) )
14 1 13 bitrd 
 |-  ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( F |`t A ) e. ( fBas ` A ) <-> A. v e. F ( v i^i A ) =/= (/) ) )