Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
unfilem1.1 |
|- A e. _om |
2 |
|
unfilem1.2 |
|- B e. _om |
3 |
|
unfilem1.3 |
|- F = ( x e. B |-> ( A +o x ) ) |
4 |
|
elnn |
|- ( ( x e. B /\ B e. _om ) -> x e. _om ) |
5 |
2 4
|
mpan2 |
|- ( x e. B -> x e. _om ) |
6 |
|
nnaord |
|- ( ( x e. _om /\ B e. _om /\ A e. _om ) -> ( x e. B <-> ( A +o x ) e. ( A +o B ) ) ) |
7 |
2 1 6
|
mp3an23 |
|- ( x e. _om -> ( x e. B <-> ( A +o x ) e. ( A +o B ) ) ) |
8 |
5 7
|
syl |
|- ( x e. B -> ( x e. B <-> ( A +o x ) e. ( A +o B ) ) ) |
9 |
8
|
ibi |
|- ( x e. B -> ( A +o x ) e. ( A +o B ) ) |
10 |
|
nnaword1 |
|- ( ( A e. _om /\ x e. _om ) -> A C_ ( A +o x ) ) |
11 |
|
nnord |
|- ( A e. _om -> Ord A ) |
12 |
|
nnacl |
|- ( ( A e. _om /\ x e. _om ) -> ( A +o x ) e. _om ) |
13 |
|
nnord |
|- ( ( A +o x ) e. _om -> Ord ( A +o x ) ) |
14 |
12 13
|
syl |
|- ( ( A e. _om /\ x e. _om ) -> Ord ( A +o x ) ) |
15 |
|
ordtri1 |
|- ( ( Ord A /\ Ord ( A +o x ) ) -> ( A C_ ( A +o x ) <-> -. ( A +o x ) e. A ) ) |
16 |
11 14 15
|
syl2an2r |
|- ( ( A e. _om /\ x e. _om ) -> ( A C_ ( A +o x ) <-> -. ( A +o x ) e. A ) ) |
17 |
10 16
|
mpbid |
|- ( ( A e. _om /\ x e. _om ) -> -. ( A +o x ) e. A ) |
18 |
1 5 17
|
sylancr |
|- ( x e. B -> -. ( A +o x ) e. A ) |
19 |
9 18
|
jca |
|- ( x e. B -> ( ( A +o x ) e. ( A +o B ) /\ -. ( A +o x ) e. A ) ) |
20 |
|
eleq1 |
|- ( y = ( A +o x ) -> ( y e. ( A +o B ) <-> ( A +o x ) e. ( A +o B ) ) ) |
21 |
|
eleq1 |
|- ( y = ( A +o x ) -> ( y e. A <-> ( A +o x ) e. A ) ) |
22 |
21
|
notbid |
|- ( y = ( A +o x ) -> ( -. y e. A <-> -. ( A +o x ) e. A ) ) |
23 |
20 22
|
anbi12d |
|- ( y = ( A +o x ) -> ( ( y e. ( A +o B ) /\ -. y e. A ) <-> ( ( A +o x ) e. ( A +o B ) /\ -. ( A +o x ) e. A ) ) ) |
24 |
23
|
biimparc |
|- ( ( ( ( A +o x ) e. ( A +o B ) /\ -. ( A +o x ) e. A ) /\ y = ( A +o x ) ) -> ( y e. ( A +o B ) /\ -. y e. A ) ) |
25 |
19 24
|
sylan |
|- ( ( x e. B /\ y = ( A +o x ) ) -> ( y e. ( A +o B ) /\ -. y e. A ) ) |
26 |
25
|
rexlimiva |
|- ( E. x e. B y = ( A +o x ) -> ( y e. ( A +o B ) /\ -. y e. A ) ) |
27 |
1 2
|
nnacli |
|- ( A +o B ) e. _om |
28 |
|
elnn |
|- ( ( y e. ( A +o B ) /\ ( A +o B ) e. _om ) -> y e. _om ) |
29 |
27 28
|
mpan2 |
|- ( y e. ( A +o B ) -> y e. _om ) |
30 |
|
nnord |
|- ( y e. _om -> Ord y ) |
31 |
|
ordtri1 |
|- ( ( Ord A /\ Ord y ) -> ( A C_ y <-> -. y e. A ) ) |
32 |
11 30 31
|
syl2an |
|- ( ( A e. _om /\ y e. _om ) -> ( A C_ y <-> -. y e. A ) ) |
33 |
|
nnawordex |
|- ( ( A e. _om /\ y e. _om ) -> ( A C_ y <-> E. x e. _om ( A +o x ) = y ) ) |
34 |
32 33
|
bitr3d |
|- ( ( A e. _om /\ y e. _om ) -> ( -. y e. A <-> E. x e. _om ( A +o x ) = y ) ) |
35 |
1 29 34
|
sylancr |
|- ( y e. ( A +o B ) -> ( -. y e. A <-> E. x e. _om ( A +o x ) = y ) ) |
36 |
|
eleq1 |
|- ( ( A +o x ) = y -> ( ( A +o x ) e. ( A +o B ) <-> y e. ( A +o B ) ) ) |
37 |
7 36
|
sylan9bb |
|- ( ( x e. _om /\ ( A +o x ) = y ) -> ( x e. B <-> y e. ( A +o B ) ) ) |
38 |
37
|
biimprcd |
|- ( y e. ( A +o B ) -> ( ( x e. _om /\ ( A +o x ) = y ) -> x e. B ) ) |
39 |
|
eqcom |
|- ( ( A +o x ) = y <-> y = ( A +o x ) ) |
40 |
39
|
biimpi |
|- ( ( A +o x ) = y -> y = ( A +o x ) ) |
41 |
40
|
adantl |
|- ( ( x e. _om /\ ( A +o x ) = y ) -> y = ( A +o x ) ) |
42 |
38 41
|
jca2 |
|- ( y e. ( A +o B ) -> ( ( x e. _om /\ ( A +o x ) = y ) -> ( x e. B /\ y = ( A +o x ) ) ) ) |
43 |
42
|
reximdv2 |
|- ( y e. ( A +o B ) -> ( E. x e. _om ( A +o x ) = y -> E. x e. B y = ( A +o x ) ) ) |
44 |
35 43
|
sylbid |
|- ( y e. ( A +o B ) -> ( -. y e. A -> E. x e. B y = ( A +o x ) ) ) |
45 |
44
|
imp |
|- ( ( y e. ( A +o B ) /\ -. y e. A ) -> E. x e. B y = ( A +o x ) ) |
46 |
26 45
|
impbii |
|- ( E. x e. B y = ( A +o x ) <-> ( y e. ( A +o B ) /\ -. y e. A ) ) |
47 |
|
ovex |
|- ( A +o x ) e. _V |
48 |
3 47
|
elrnmpti |
|- ( y e. ran F <-> E. x e. B y = ( A +o x ) ) |
49 |
|
eldif |
|- ( y e. ( ( A +o B ) \ A ) <-> ( y e. ( A +o B ) /\ -. y e. A ) ) |
50 |
46 48 49
|
3bitr4i |
|- ( y e. ran F <-> y e. ( ( A +o B ) \ A ) ) |
51 |
50
|
eqriv |
|- ran F = ( ( A +o B ) \ A ) |