Theorem wl-sb8eut

Description: Substitution of variable in universal quantifier. Closed form of sb8eu . (Contributed by Wolf Lammen, 11-Aug-2019)

	Ref	Expression
Assertion	wl-sb8eut	|- ( A. x F/ y ph -> ( E! x ph <-> E! y [ y / x ] ph ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfnf1	|- F/ y F/ y ph
2	1	nfal	|- F/ y A. x F/ y ph
3		equsb3	|- ( [ v / x ] x = u <-> v = u )
4	3	sblbis	|- ( [ v / x ] ( ph <-> x = u ) <-> ( [ v / x ] ph <-> v = u ) )
5		nfa1	|- F/ x A. x F/ y ph
6		sp	|- ( A. x F/ y ph -> F/ y ph )
7	5 6	nfsbd	|- ( A. x F/ y ph -> F/ y [ v / x ] ph )
8		nfvd	|- ( A. x F/ y ph -> F/ y v = u )
9	7 8	nfbid	|- ( A. x F/ y ph -> F/ y ( [ v / x ] ph <-> v = u ) )
10	4 9	nfxfrd	|- ( A. x F/ y ph -> F/ y [ v / x ] ( ph <-> x = u ) )
11		sbequ	|- ( v = y -> ( [ v / x ] ( ph <-> x = u ) <-> [ y / x ] ( ph <-> x = u ) ) )
12	11	a1i	|- ( A. x F/ y ph -> ( v = y -> ( [ v / x ] ( ph <-> x = u ) <-> [ y / x ] ( ph <-> x = u ) ) ) )
13	2 10 12	cbvald	|- ( A. x F/ y ph -> ( A. v [ v / x ] ( ph <-> x = u ) <-> A. y [ y / x ] ( ph <-> x = u ) ) )
14		nfv	|- F/ v ( ph <-> x = u )
15	14	sb8	|- ( A. x ( ph <-> x = u ) <-> A. v [ v / x ] ( ph <-> x = u ) )
16	15	bicomi	|- ( A. v [ v / x ] ( ph <-> x = u ) <-> A. x ( ph <-> x = u ) )
17		equsb3	|- ( [ y / x ] x = u <-> y = u )
18	17	sblbis	|- ( [ y / x ] ( ph <-> x = u ) <-> ( [ y / x ] ph <-> y = u ) )
19	18	albii	|- ( A. y [ y / x ] ( ph <-> x = u ) <-> A. y ( [ y / x ] ph <-> y = u ) )
20	13 16 19	3bitr3g	|- ( A. x F/ y ph -> ( A. x ( ph <-> x = u ) <-> A. y ( [ y / x ] ph <-> y = u ) ) )
21	20	exbidv	|- ( A. x F/ y ph -> ( E. u A. x ( ph <-> x = u ) <-> E. u A. y ( [ y / x ] ph <-> y = u ) ) )
22		eu6	|- ( E! x ph <-> E. u A. x ( ph <-> x = u ) )
23		eu6	|- ( E! y [ y / x ] ph <-> E. u A. y ( [ y / x ] ph <-> y = u ) )
24	21 22 23	3bitr4g	|- ( A. x F/ y ph -> ( E! x ph <-> E! y [ y / x ] ph ) )