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Theorem xrge0infss

Description: Any subset of nonnegative extended reals has an infimum. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2019) (Revised by AV, 4-Oct-2020)

Ref Expression
Assertion xrge0infss 
|- ( A C_ ( 0 [,] +oo ) -> E. x e. ( 0 [,] +oo ) ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ssel2 
 |-  ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ y e. A ) -> y e. ( 0 [,] +oo ) )
2 0xr 
 |-  0 e. RR*
3 pnfxr 
 |-  +oo e. RR*
4 iccgelb 
 |-  ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ y )
5 2 3 4 mp3an12 
 |-  ( y e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ y )
6 eliccxr 
 |-  ( y e. ( 0 [,] +oo ) -> y e. RR* )
7 xrlenlt 
 |-  ( ( 0 e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( 0 <_ y <-> -. y < 0 ) )
8 2 6 7 sylancr 
 |-  ( y e. ( 0 [,] +oo ) -> ( 0 <_ y <-> -. y < 0 ) )
9 5 8 mpbid 
 |-  ( y e. ( 0 [,] +oo ) -> -. y < 0 )
10 1 9 syl 
 |-  ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ y e. A ) -> -. y < 0 )
11 10 ralrimiva 
 |-  ( A C_ ( 0 [,] +oo ) -> A. y e. A -. y < 0 )
12 11 ad3antrrr 
 |-  ( ( ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ w e. RR* ) /\ ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) /\ w <_ 0 ) -> A. y e. A -. y < 0 )
13 iccssxr 
 |-  ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
14 ssralv 
 |-  ( ( 0 [,] +oo ) C_ RR* -> ( A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) -> A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) )
15 13 14 ax-mp 
 |-  ( A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) -> A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( w < y -> E. z e. A z < y ) )
16 simplll 
 |-  ( ( ( ( w e. RR* /\ w <_ 0 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ 0 < y ) -> w e. RR* )
17 2 a1i 
 |-  ( ( ( ( w e. RR* /\ w <_ 0 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ 0 < y ) -> 0 e. RR* )
18 simplr 
 |-  ( ( ( ( w e. RR* /\ w <_ 0 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ 0 < y ) -> y e. ( 0 [,] +oo ) )
19 13 18 sseldi 
 |-  ( ( ( ( w e. RR* /\ w <_ 0 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ 0 < y ) -> y e. RR* )
20 simpllr 
 |-  ( ( ( ( w e. RR* /\ w <_ 0 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ 0 < y ) -> w <_ 0 )
21 simpr 
 |-  ( ( ( ( w e. RR* /\ w <_ 0 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ 0 < y ) -> 0 < y )
22 16 17 19 20 21 xrlelttrd 
 |-  ( ( ( ( w e. RR* /\ w <_ 0 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ 0 < y ) -> w < y )
23 22 ex 
 |-  ( ( ( w e. RR* /\ w <_ 0 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( 0 < y -> w < y ) )
24 23 imim1d 
 |-  ( ( ( w e. RR* /\ w <_ 0 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( w < y -> E. z e. A z < y ) -> ( 0 < y -> E. z e. A z < y ) ) )
25 24 ralimdva 
 |-  ( ( w e. RR* /\ w <_ 0 ) -> ( A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( w < y -> E. z e. A z < y ) -> A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( 0 < y -> E. z e. A z < y ) ) )
26 15 25 syl5 
 |-  ( ( w e. RR* /\ w <_ 0 ) -> ( A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) -> A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( 0 < y -> E. z e. A z < y ) ) )
27 26 adantll 
 |-  ( ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ w e. RR* ) /\ w <_ 0 ) -> ( A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) -> A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( 0 < y -> E. z e. A z < y ) ) )
28 27 imp 
 |-  ( ( ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ w e. RR* ) /\ w <_ 0 ) /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) -> A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( 0 < y -> E. z e. A z < y ) )
29 28 adantrl 
 |-  ( ( ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ w e. RR* ) /\ w <_ 0 ) /\ ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) -> A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( 0 < y -> E. z e. A z < y ) )
30 29 an32s 
 |-  ( ( ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ w e. RR* ) /\ ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) /\ w <_ 0 ) -> A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( 0 < y -> E. z e. A z < y ) )
31 0e0iccpnf 
 |-  0 e. ( 0 [,] +oo )
32 breq2 
 |-  ( x = 0 -> ( y < x <-> y < 0 ) )
33 32 notbid 
 |-  ( x = 0 -> ( -. y < x <-> -. y < 0 ) )
34 33 ralbidv 
 |-  ( x = 0 -> ( A. y e. A -. y < x <-> A. y e. A -. y < 0 ) )
35 breq1 
 |-  ( x = 0 -> ( x < y <-> 0 < y ) )
36 35 imbi1d 
 |-  ( x = 0 -> ( ( x < y -> E. z e. A z < y ) <-> ( 0 < y -> E. z e. A z < y ) ) )
37 36 ralbidv 
 |-  ( x = 0 -> ( A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( x < y -> E. z e. A z < y ) <-> A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( 0 < y -> E. z e. A z < y ) ) )
38 34 37 anbi12d 
 |-  ( x = 0 -> ( ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) <-> ( A. y e. A -. y < 0 /\ A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( 0 < y -> E. z e. A z < y ) ) ) )
39 38 rspcev 
 |-  ( ( 0 e. ( 0 [,] +oo ) /\ ( A. y e. A -. y < 0 /\ A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( 0 < y -> E. z e. A z < y ) ) ) -> E. x e. ( 0 [,] +oo ) ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
40 31 39 mpan 
 |-  ( ( A. y e. A -. y < 0 /\ A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( 0 < y -> E. z e. A z < y ) ) -> E. x e. ( 0 [,] +oo ) ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
41 12 30 40 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ w e. RR* ) /\ ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) /\ w <_ 0 ) -> E. x e. ( 0 [,] +oo ) ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
42 simpllr 
 |-  ( ( ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ w e. RR* ) /\ ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) /\ 0 <_ w ) -> w e. RR* )
43 simpr 
 |-  ( ( ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ w e. RR* ) /\ ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) /\ 0 <_ w ) -> 0 <_ w )
44 elxrge0 
 |-  ( w e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( w e. RR* /\ 0 <_ w ) )
45 42 43 44 sylanbrc 
 |-  ( ( ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ w e. RR* ) /\ ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) /\ 0 <_ w ) -> w e. ( 0 [,] +oo ) )
46 15 a1i 
 |-  ( A C_ ( 0 [,] +oo ) -> ( A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) -> A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) )
47 46 anim2d 
 |-  ( A C_ ( 0 [,] +oo ) -> ( ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) -> ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) )
48 47 adantr 
 |-  ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ w e. RR* ) -> ( ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) -> ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) )
49 48 imp 
 |-  ( ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ w e. RR* ) /\ ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) -> ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) )
50 49 adantr 
 |-  ( ( ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ w e. RR* ) /\ ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) /\ 0 <_ w ) -> ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) )
51 breq2 
 |-  ( x = w -> ( y < x <-> y < w ) )
52 51 notbid 
 |-  ( x = w -> ( -. y < x <-> -. y < w ) )
53 52 ralbidv 
 |-  ( x = w -> ( A. y e. A -. y < x <-> A. y e. A -. y < w ) )
54 breq1 
 |-  ( x = w -> ( x < y <-> w < y ) )
55 54 imbi1d 
 |-  ( x = w -> ( ( x < y -> E. z e. A z < y ) <-> ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) )
56 55 ralbidv 
 |-  ( x = w -> ( A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( x < y -> E. z e. A z < y ) <-> A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) )
57 53 56 anbi12d 
 |-  ( x = w -> ( ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) <-> ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) )
58 57 rspcev 
 |-  ( ( w e. ( 0 [,] +oo ) /\ ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) -> E. x e. ( 0 [,] +oo ) ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
59 45 50 58 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ w e. RR* ) /\ ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) /\ 0 <_ w ) -> E. x e. ( 0 [,] +oo ) ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
60 simplr 
 |-  ( ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ w e. RR* ) /\ ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) -> w e. RR* )
61 2 a1i 
 |-  ( ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ w e. RR* ) /\ ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) -> 0 e. RR* )
62 xrletri 
 |-  ( ( w e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( w <_ 0 \/ 0 <_ w ) )
63 60 61 62 syl2anc 
 |-  ( ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ w e. RR* ) /\ ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) -> ( w <_ 0 \/ 0 <_ w ) )
64 41 59 63 mpjaodan 
 |-  ( ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ w e. RR* ) /\ ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) -> E. x e. ( 0 [,] +oo ) ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
65 sstr 
 |-  ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ ( 0 [,] +oo ) C_ RR* ) -> A C_ RR* )
66 13 65 mpan2 
 |-  ( A C_ ( 0 [,] +oo ) -> A C_ RR* )
67 xrinfmss 
 |-  ( A C_ RR* -> E. w e. RR* ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) )
68 66 67 syl 
 |-  ( A C_ ( 0 [,] +oo ) -> E. w e. RR* ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) )
69 64 68 r19.29a 
 |-  ( A C_ ( 0 [,] +oo ) -> E. x e. ( 0 [,] +oo ) ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )