Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ssel2 |
|- ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ y e. A ) -> y e. ( 0 [,] +oo ) ) |
2 |
|
0xr |
|- 0 e. RR* |
3 |
|
pnfxr |
|- +oo e. RR* |
4 |
|
iccgelb |
|- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ y ) |
5 |
2 3 4
|
mp3an12 |
|- ( y e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ y ) |
6 |
|
eliccxr |
|- ( y e. ( 0 [,] +oo ) -> y e. RR* ) |
7 |
|
xrlenlt |
|- ( ( 0 e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( 0 <_ y <-> -. y < 0 ) ) |
8 |
2 6 7
|
sylancr |
|- ( y e. ( 0 [,] +oo ) -> ( 0 <_ y <-> -. y < 0 ) ) |
9 |
5 8
|
mpbid |
|- ( y e. ( 0 [,] +oo ) -> -. y < 0 ) |
10 |
1 9
|
syl |
|- ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ y e. A ) -> -. y < 0 ) |
11 |
10
|
ralrimiva |
|- ( A C_ ( 0 [,] +oo ) -> A. y e. A -. y < 0 ) |
12 |
11
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ w e. RR* ) /\ ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) /\ w <_ 0 ) -> A. y e. A -. y < 0 ) |
13 |
|
iccssxr |
|- ( 0 [,] +oo ) C_ RR* |
14 |
|
ssralv |
|- ( ( 0 [,] +oo ) C_ RR* -> ( A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) -> A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) |
15 |
13 14
|
ax-mp |
|- ( A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) -> A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) |
16 |
|
simplll |
|- ( ( ( ( w e. RR* /\ w <_ 0 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ 0 < y ) -> w e. RR* ) |
17 |
2
|
a1i |
|- ( ( ( ( w e. RR* /\ w <_ 0 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ 0 < y ) -> 0 e. RR* ) |
18 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( w e. RR* /\ w <_ 0 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ 0 < y ) -> y e. ( 0 [,] +oo ) ) |
19 |
13 18
|
sseldi |
|- ( ( ( ( w e. RR* /\ w <_ 0 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ 0 < y ) -> y e. RR* ) |
20 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( w e. RR* /\ w <_ 0 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ 0 < y ) -> w <_ 0 ) |
21 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( w e. RR* /\ w <_ 0 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ 0 < y ) -> 0 < y ) |
22 |
16 17 19 20 21
|
xrlelttrd |
|- ( ( ( ( w e. RR* /\ w <_ 0 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ 0 < y ) -> w < y ) |
23 |
22
|
ex |
|- ( ( ( w e. RR* /\ w <_ 0 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( 0 < y -> w < y ) ) |
24 |
23
|
imim1d |
|- ( ( ( w e. RR* /\ w <_ 0 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( w < y -> E. z e. A z < y ) -> ( 0 < y -> E. z e. A z < y ) ) ) |
25 |
24
|
ralimdva |
|- ( ( w e. RR* /\ w <_ 0 ) -> ( A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( w < y -> E. z e. A z < y ) -> A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( 0 < y -> E. z e. A z < y ) ) ) |
26 |
15 25
|
syl5 |
|- ( ( w e. RR* /\ w <_ 0 ) -> ( A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) -> A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( 0 < y -> E. z e. A z < y ) ) ) |
27 |
26
|
adantll |
|- ( ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ w e. RR* ) /\ w <_ 0 ) -> ( A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) -> A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( 0 < y -> E. z e. A z < y ) ) ) |
28 |
27
|
imp |
|- ( ( ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ w e. RR* ) /\ w <_ 0 ) /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) -> A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( 0 < y -> E. z e. A z < y ) ) |
29 |
28
|
adantrl |
|- ( ( ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ w e. RR* ) /\ w <_ 0 ) /\ ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) -> A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( 0 < y -> E. z e. A z < y ) ) |
30 |
29
|
an32s |
|- ( ( ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ w e. RR* ) /\ ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) /\ w <_ 0 ) -> A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( 0 < y -> E. z e. A z < y ) ) |
31 |
|
0e0iccpnf |
|- 0 e. ( 0 [,] +oo ) |
32 |
|
breq2 |
|- ( x = 0 -> ( y < x <-> y < 0 ) ) |
33 |
32
|
notbid |
|- ( x = 0 -> ( -. y < x <-> -. y < 0 ) ) |
34 |
33
|
ralbidv |
|- ( x = 0 -> ( A. y e. A -. y < x <-> A. y e. A -. y < 0 ) ) |
35 |
|
breq1 |
|- ( x = 0 -> ( x < y <-> 0 < y ) ) |
36 |
35
|
imbi1d |
|- ( x = 0 -> ( ( x < y -> E. z e. A z < y ) <-> ( 0 < y -> E. z e. A z < y ) ) ) |
37 |
36
|
ralbidv |
|- ( x = 0 -> ( A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( x < y -> E. z e. A z < y ) <-> A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( 0 < y -> E. z e. A z < y ) ) ) |
38 |
34 37
|
anbi12d |
|- ( x = 0 -> ( ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) <-> ( A. y e. A -. y < 0 /\ A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( 0 < y -> E. z e. A z < y ) ) ) ) |
39 |
38
|
rspcev |
|- ( ( 0 e. ( 0 [,] +oo ) /\ ( A. y e. A -. y < 0 /\ A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( 0 < y -> E. z e. A z < y ) ) ) -> E. x e. ( 0 [,] +oo ) ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) ) |
40 |
31 39
|
mpan |
|- ( ( A. y e. A -. y < 0 /\ A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( 0 < y -> E. z e. A z < y ) ) -> E. x e. ( 0 [,] +oo ) ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) ) |
41 |
12 30 40
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ w e. RR* ) /\ ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) /\ w <_ 0 ) -> E. x e. ( 0 [,] +oo ) ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) ) |
42 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ w e. RR* ) /\ ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) /\ 0 <_ w ) -> w e. RR* ) |
43 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ w e. RR* ) /\ ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) /\ 0 <_ w ) -> 0 <_ w ) |
44 |
|
elxrge0 |
|- ( w e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( w e. RR* /\ 0 <_ w ) ) |
45 |
42 43 44
|
sylanbrc |
|- ( ( ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ w e. RR* ) /\ ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) /\ 0 <_ w ) -> w e. ( 0 [,] +oo ) ) |
46 |
15
|
a1i |
|- ( A C_ ( 0 [,] +oo ) -> ( A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) -> A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) |
47 |
46
|
anim2d |
|- ( A C_ ( 0 [,] +oo ) -> ( ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) -> ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) ) |
48 |
47
|
adantr |
|- ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ w e. RR* ) -> ( ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) -> ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) ) |
49 |
48
|
imp |
|- ( ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ w e. RR* ) /\ ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) -> ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) |
50 |
49
|
adantr |
|- ( ( ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ w e. RR* ) /\ ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) /\ 0 <_ w ) -> ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) |
51 |
|
breq2 |
|- ( x = w -> ( y < x <-> y < w ) ) |
52 |
51
|
notbid |
|- ( x = w -> ( -. y < x <-> -. y < w ) ) |
53 |
52
|
ralbidv |
|- ( x = w -> ( A. y e. A -. y < x <-> A. y e. A -. y < w ) ) |
54 |
|
breq1 |
|- ( x = w -> ( x < y <-> w < y ) ) |
55 |
54
|
imbi1d |
|- ( x = w -> ( ( x < y -> E. z e. A z < y ) <-> ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) |
56 |
55
|
ralbidv |
|- ( x = w -> ( A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( x < y -> E. z e. A z < y ) <-> A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) |
57 |
53 56
|
anbi12d |
|- ( x = w -> ( ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) <-> ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) ) |
58 |
57
|
rspcev |
|- ( ( w e. ( 0 [,] +oo ) /\ ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) -> E. x e. ( 0 [,] +oo ) ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) ) |
59 |
45 50 58
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ w e. RR* ) /\ ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) /\ 0 <_ w ) -> E. x e. ( 0 [,] +oo ) ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) ) |
60 |
|
simplr |
|- ( ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ w e. RR* ) /\ ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) -> w e. RR* ) |
61 |
2
|
a1i |
|- ( ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ w e. RR* ) /\ ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) -> 0 e. RR* ) |
62 |
|
xrletri |
|- ( ( w e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( w <_ 0 \/ 0 <_ w ) ) |
63 |
60 61 62
|
syl2anc |
|- ( ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ w e. RR* ) /\ ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) -> ( w <_ 0 \/ 0 <_ w ) ) |
64 |
41 59 63
|
mpjaodan |
|- ( ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ w e. RR* ) /\ ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) -> E. x e. ( 0 [,] +oo ) ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) ) |
65 |
|
sstr |
|- ( ( A C_ ( 0 [,] +oo ) /\ ( 0 [,] +oo ) C_ RR* ) -> A C_ RR* ) |
66 |
13 65
|
mpan2 |
|- ( A C_ ( 0 [,] +oo ) -> A C_ RR* ) |
67 |
|
xrinfmss |
|- ( A C_ RR* -> E. w e. RR* ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) |
68 |
66 67
|
syl |
|- ( A C_ ( 0 [,] +oo ) -> E. w e. RR* ( A. y e. A -. y < w /\ A. y e. RR* ( w < y -> E. z e. A z < y ) ) ) |
69 |
64 68
|
r19.29a |
|- ( A C_ ( 0 [,] +oo ) -> E. x e. ( 0 [,] +oo ) ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) ) |