Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
nnssz |
|- NN C_ ZZ |
2 |
|
arch |
|- ( A e. RR -> E. z e. NN A < z ) |
3 |
|
ssrexv |
|- ( NN C_ ZZ -> ( E. z e. NN A < z -> E. z e. ZZ A < z ) ) |
4 |
1 2 3
|
mpsyl |
|- ( A e. RR -> E. z e. ZZ A < z ) |
5 |
|
zre |
|- ( z e. ZZ -> z e. RR ) |
6 |
|
ltle |
|- ( ( A e. RR /\ z e. RR ) -> ( A < z -> A <_ z ) ) |
7 |
5 6
|
sylan2 |
|- ( ( A e. RR /\ z e. ZZ ) -> ( A < z -> A <_ z ) ) |
8 |
7
|
reximdva |
|- ( A e. RR -> ( E. z e. ZZ A < z -> E. z e. ZZ A <_ z ) ) |
9 |
4 8
|
mpd |
|- ( A e. RR -> E. z e. ZZ A <_ z ) |
10 |
|
rabn0 |
|- ( { z e. ZZ | A <_ z } =/= (/) <-> E. z e. ZZ A <_ z ) |
11 |
9 10
|
sylibr |
|- ( A e. RR -> { z e. ZZ | A <_ z } =/= (/) ) |
12 |
|
breq2 |
|- ( z = n -> ( A <_ z <-> A <_ n ) ) |
13 |
12
|
cbvrabv |
|- { z e. ZZ | A <_ z } = { n e. ZZ | A <_ n } |
14 |
13
|
eqimssi |
|- { z e. ZZ | A <_ z } C_ { n e. ZZ | A <_ n } |
15 |
|
uzwo3 |
|- ( ( A e. RR /\ ( { z e. ZZ | A <_ z } C_ { n e. ZZ | A <_ n } /\ { z e. ZZ | A <_ z } =/= (/) ) ) -> E! x e. { z e. ZZ | A <_ z } A. y e. { z e. ZZ | A <_ z } x <_ y ) |
16 |
14 15
|
mpanr1 |
|- ( ( A e. RR /\ { z e. ZZ | A <_ z } =/= (/) ) -> E! x e. { z e. ZZ | A <_ z } A. y e. { z e. ZZ | A <_ z } x <_ y ) |
17 |
11 16
|
mpdan |
|- ( A e. RR -> E! x e. { z e. ZZ | A <_ z } A. y e. { z e. ZZ | A <_ z } x <_ y ) |
18 |
|
breq2 |
|- ( z = x -> ( A <_ z <-> A <_ x ) ) |
19 |
18
|
elrab |
|- ( x e. { z e. ZZ | A <_ z } <-> ( x e. ZZ /\ A <_ x ) ) |
20 |
|
breq2 |
|- ( z = y -> ( A <_ z <-> A <_ y ) ) |
21 |
20
|
ralrab |
|- ( A. y e. { z e. ZZ | A <_ z } x <_ y <-> A. y e. ZZ ( A <_ y -> x <_ y ) ) |
22 |
19 21
|
anbi12i |
|- ( ( x e. { z e. ZZ | A <_ z } /\ A. y e. { z e. ZZ | A <_ z } x <_ y ) <-> ( ( x e. ZZ /\ A <_ x ) /\ A. y e. ZZ ( A <_ y -> x <_ y ) ) ) |
23 |
|
anass |
|- ( ( ( x e. ZZ /\ A <_ x ) /\ A. y e. ZZ ( A <_ y -> x <_ y ) ) <-> ( x e. ZZ /\ ( A <_ x /\ A. y e. ZZ ( A <_ y -> x <_ y ) ) ) ) |
24 |
22 23
|
bitri |
|- ( ( x e. { z e. ZZ | A <_ z } /\ A. y e. { z e. ZZ | A <_ z } x <_ y ) <-> ( x e. ZZ /\ ( A <_ x /\ A. y e. ZZ ( A <_ y -> x <_ y ) ) ) ) |
25 |
24
|
eubii |
|- ( E! x ( x e. { z e. ZZ | A <_ z } /\ A. y e. { z e. ZZ | A <_ z } x <_ y ) <-> E! x ( x e. ZZ /\ ( A <_ x /\ A. y e. ZZ ( A <_ y -> x <_ y ) ) ) ) |
26 |
|
df-reu |
|- ( E! x e. { z e. ZZ | A <_ z } A. y e. { z e. ZZ | A <_ z } x <_ y <-> E! x ( x e. { z e. ZZ | A <_ z } /\ A. y e. { z e. ZZ | A <_ z } x <_ y ) ) |
27 |
|
df-reu |
|- ( E! x e. ZZ ( A <_ x /\ A. y e. ZZ ( A <_ y -> x <_ y ) ) <-> E! x ( x e. ZZ /\ ( A <_ x /\ A. y e. ZZ ( A <_ y -> x <_ y ) ) ) ) |
28 |
25 26 27
|
3bitr4i |
|- ( E! x e. { z e. ZZ | A <_ z } A. y e. { z e. ZZ | A <_ z } x <_ y <-> E! x e. ZZ ( A <_ x /\ A. y e. ZZ ( A <_ y -> x <_ y ) ) ) |
29 |
17 28
|
sylib |
|- ( A e. RR -> E! x e. ZZ ( A <_ x /\ A. y e. ZZ ( A <_ y -> x <_ y ) ) ) |