Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
renegcl |
|- ( B e. RR -> -u B e. RR ) |
2 |
1
|
adantr |
|- ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) -> -u B e. RR ) |
3 |
|
arch |
|- ( -u B e. RR -> E. n e. NN -u B < n ) |
4 |
2 3
|
syl |
|- ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) -> E. n e. NN -u B < n ) |
5 |
|
simplrl |
|- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> A C_ { z e. ZZ | B <_ z } ) |
6 |
|
simplrl |
|- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> n e. NN ) |
7 |
|
nnnegz |
|- ( n e. NN -> -u n e. ZZ ) |
8 |
6 7
|
syl |
|- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> -u n e. ZZ ) |
9 |
8
|
zred |
|- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> -u n e. RR ) |
10 |
|
simprl |
|- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> z e. ZZ ) |
11 |
10
|
zred |
|- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> z e. RR ) |
12 |
|
simpll |
|- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> B e. RR ) |
13 |
6
|
nnred |
|- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> n e. RR ) |
14 |
|
simplrr |
|- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> -u B < n ) |
15 |
12 13 14
|
ltnegcon1d |
|- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> -u n < B ) |
16 |
|
simprr |
|- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> B <_ z ) |
17 |
9 12 11 15 16
|
ltletrd |
|- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> -u n < z ) |
18 |
9 11 17
|
ltled |
|- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> -u n <_ z ) |
19 |
|
eluz |
|- ( ( -u n e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( z e. ( ZZ>= ` -u n ) <-> -u n <_ z ) ) |
20 |
8 10 19
|
syl2anc |
|- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> ( z e. ( ZZ>= ` -u n ) <-> -u n <_ z ) ) |
21 |
18 20
|
mpbird |
|- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> z e. ( ZZ>= ` -u n ) ) |
22 |
21
|
expr |
|- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ z e. ZZ ) -> ( B <_ z -> z e. ( ZZ>= ` -u n ) ) ) |
23 |
22
|
ralrimiva |
|- ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> A. z e. ZZ ( B <_ z -> z e. ( ZZ>= ` -u n ) ) ) |
24 |
|
rabss |
|- ( { z e. ZZ | B <_ z } C_ ( ZZ>= ` -u n ) <-> A. z e. ZZ ( B <_ z -> z e. ( ZZ>= ` -u n ) ) ) |
25 |
23 24
|
sylibr |
|- ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> { z e. ZZ | B <_ z } C_ ( ZZ>= ` -u n ) ) |
26 |
25
|
adantlr |
|- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> { z e. ZZ | B <_ z } C_ ( ZZ>= ` -u n ) ) |
27 |
5 26
|
sstrd |
|- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` -u n ) ) |
28 |
|
simplrr |
|- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> A =/= (/) ) |
29 |
|
infssuzcl |
|- ( ( A C_ ( ZZ>= ` -u n ) /\ A =/= (/) ) -> inf ( A , RR , < ) e. A ) |
30 |
27 28 29
|
syl2anc |
|- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> inf ( A , RR , < ) e. A ) |
31 |
|
infssuzle |
|- ( ( A C_ ( ZZ>= ` -u n ) /\ y e. A ) -> inf ( A , RR , < ) <_ y ) |
32 |
27 31
|
sylan |
|- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ y e. A ) -> inf ( A , RR , < ) <_ y ) |
33 |
32
|
ralrimiva |
|- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> A. y e. A inf ( A , RR , < ) <_ y ) |
34 |
|
breq2 |
|- ( y = inf ( A , RR , < ) -> ( x <_ y <-> x <_ inf ( A , RR , < ) ) ) |
35 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> A. y e. A x <_ y ) |
36 |
30
|
adantr |
|- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> inf ( A , RR , < ) e. A ) |
37 |
34 35 36
|
rspcdva |
|- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> x <_ inf ( A , RR , < ) ) |
38 |
27
|
adantr |
|- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` -u n ) ) |
39 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> x e. A ) |
40 |
|
infssuzle |
|- ( ( A C_ ( ZZ>= ` -u n ) /\ x e. A ) -> inf ( A , RR , < ) <_ x ) |
41 |
38 39 40
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> inf ( A , RR , < ) <_ x ) |
42 |
|
uzssz |
|- ( ZZ>= ` -u n ) C_ ZZ |
43 |
|
zssre |
|- ZZ C_ RR |
44 |
42 43
|
sstri |
|- ( ZZ>= ` -u n ) C_ RR |
45 |
27 44
|
sstrdi |
|- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> A C_ RR ) |
46 |
45
|
adantr |
|- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> A C_ RR ) |
47 |
46 39
|
sseldd |
|- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> x e. RR ) |
48 |
45 30
|
sseldd |
|- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> inf ( A , RR , < ) e. RR ) |
49 |
48
|
adantr |
|- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> inf ( A , RR , < ) e. RR ) |
50 |
47 49
|
letri3d |
|- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> ( x = inf ( A , RR , < ) <-> ( x <_ inf ( A , RR , < ) /\ inf ( A , RR , < ) <_ x ) ) ) |
51 |
37 41 50
|
mpbir2and |
|- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> x = inf ( A , RR , < ) ) |
52 |
51
|
expr |
|- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ x e. A ) -> ( A. y e. A x <_ y -> x = inf ( A , RR , < ) ) ) |
53 |
52
|
ralrimiva |
|- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> A. x e. A ( A. y e. A x <_ y -> x = inf ( A , RR , < ) ) ) |
54 |
|
breq1 |
|- ( x = inf ( A , RR , < ) -> ( x <_ y <-> inf ( A , RR , < ) <_ y ) ) |
55 |
54
|
ralbidv |
|- ( x = inf ( A , RR , < ) -> ( A. y e. A x <_ y <-> A. y e. A inf ( A , RR , < ) <_ y ) ) |
56 |
55
|
eqreu |
|- ( ( inf ( A , RR , < ) e. A /\ A. y e. A inf ( A , RR , < ) <_ y /\ A. x e. A ( A. y e. A x <_ y -> x = inf ( A , RR , < ) ) ) -> E! x e. A A. y e. A x <_ y ) |
57 |
30 33 53 56
|
syl3anc |
|- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> E! x e. A A. y e. A x <_ y ) |
58 |
4 57
|
rexlimddv |
|- ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) -> E! x e. A A. y e. A x <_ y ) |