Theorem zmodcl

Description: Closure law for the modulo operation restricted to integers. (Contributed by NM, 27-Nov-2008)

	Ref	Expression
Assertion	zmodcl	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A mod B ) e. NN0 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre	|- ( A e. ZZ -> A e. RR )
2		nnrp	|- ( B e. NN -> B e. RR+ )
3		modval	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> ( A mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
4	1 2 3	syl2an	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
5		nnz	|- ( B e. NN -> B e. ZZ )
6	5	adantl	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> B e. ZZ )
7		nndivre	|- ( ( A e. RR /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. RR )
8	1 7	sylan	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. RR )
9	8	flcld	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) e. ZZ )
10	6 9	zmulcld	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) e. ZZ )
11		zsubcl	|- ( ( A e. ZZ /\ ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) e. ZZ ) -> ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) e. ZZ )
12	10 11	syldan	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) e. ZZ )
13	4 12	eqeltrd	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A mod B ) e. ZZ )
14		modge0	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> 0 <_ ( A mod B ) )
15	1 2 14	syl2an	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> 0 <_ ( A mod B ) )
16		elnn0z	|- ( ( A mod B ) e. NN0 <-> ( ( A mod B ) e. ZZ /\ 0 <_ ( A mod B ) ) )
17	13 15 16	sylanbrc	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A mod B ) e. NN0 )