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Theorem fsumcnv

Description: Transform a region of summation by using the converse operation. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2014)

Ref Expression
Hypotheses fsumcnv.1 x = j k B = D
fsumcnv.2 y = k j C = D
fsumcnv.3 φ A Fin
fsumcnv.4 φ Rel A
fsumcnv.5 φ x A B
Assertion fsumcnv φ x A B = y A -1 C

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fsumcnv.1 x = j k B = D
2 fsumcnv.2 y = k j C = D
3 fsumcnv.3 φ A Fin
4 fsumcnv.4 φ Rel A
5 fsumcnv.5 φ x A B
6 csbeq1a x = 2 nd y 1 st y B = 2 nd y 1 st y / x B
7 fvex 2 nd y V
8 fvex 1 st y V
9 opex j k V
10 9 1 csbie j k / x B = D
11 opeq12 j = 2 nd y k = 1 st y j k = 2 nd y 1 st y
12 11 csbeq1d j = 2 nd y k = 1 st y j k / x B = 2 nd y 1 st y / x B
13 10 12 eqtr3id j = 2 nd y k = 1 st y D = 2 nd y 1 st y / x B
14 7 8 13 csbie2 2 nd y / j 1 st y / k D = 2 nd y 1 st y / x B
15 6 14 eqtr4di x = 2 nd y 1 st y B = 2 nd y / j 1 st y / k D
16 cnvfi A Fin A -1 Fin
17 3 16 syl φ A -1 Fin
18 relcnv Rel A -1
19 cnvf1o Rel A -1 z A -1 z -1 : A -1 1-1 onto A -1 -1
20 18 19 ax-mp z A -1 z -1 : A -1 1-1 onto A -1 -1
21 dfrel2 Rel A A -1 -1 = A
22 4 21 sylib φ A -1 -1 = A
23 22 f1oeq3d φ z A -1 z -1 : A -1 1-1 onto A -1 -1 z A -1 z -1 : A -1 1-1 onto A
24 20 23 mpbii φ z A -1 z -1 : A -1 1-1 onto A
25 1st2nd Rel A -1 y A -1 y = 1 st y 2 nd y
26 18 25 mpan y A -1 y = 1 st y 2 nd y
27 26 fveq2d y A -1 z A -1 z -1 y = z A -1 z -1 1 st y 2 nd y
28 id y A -1 y A -1
29 26 28 eqeltrrd y A -1 1 st y 2 nd y A -1
30 sneq z = 1 st y 2 nd y z = 1 st y 2 nd y
31 30 cnveqd z = 1 st y 2 nd y z -1 = 1 st y 2 nd y -1
32 31 unieqd z = 1 st y 2 nd y z -1 = 1 st y 2 nd y -1
33 opswap 1 st y 2 nd y -1 = 2 nd y 1 st y
34 32 33 eqtrdi z = 1 st y 2 nd y z -1 = 2 nd y 1 st y
35 eqid z A -1 z -1 = z A -1 z -1
36 opex 2 nd y 1 st y V
37 34 35 36 fvmpt 1 st y 2 nd y A -1 z A -1 z -1 1 st y 2 nd y = 2 nd y 1 st y
38 29 37 syl y A -1 z A -1 z -1 1 st y 2 nd y = 2 nd y 1 st y
39 27 38 eqtrd y A -1 z A -1 z -1 y = 2 nd y 1 st y
40 39 adantl φ y A -1 z A -1 z -1 y = 2 nd y 1 st y
41 15 17 24 40 5 fsumf1o φ x A B = y A -1 2 nd y / j 1 st y / k D
42 csbeq1a y = 1 st y 2 nd y C = 1 st y 2 nd y / y C
43 26 42 syl y A -1 C = 1 st y 2 nd y / y C
44 opex k j V
45 44 2 csbie k j / y C = D
46 opeq12 k = 1 st y j = 2 nd y k j = 1 st y 2 nd y
47 46 ancoms j = 2 nd y k = 1 st y k j = 1 st y 2 nd y
48 47 csbeq1d j = 2 nd y k = 1 st y k j / y C = 1 st y 2 nd y / y C
49 45 48 eqtr3id j = 2 nd y k = 1 st y D = 1 st y 2 nd y / y C
50 7 8 49 csbie2 2 nd y / j 1 st y / k D = 1 st y 2 nd y / y C
51 43 50 eqtr4di y A -1 C = 2 nd y / j 1 st y / k D
52 51 sumeq2i y A -1 C = y A -1 2 nd y / j 1 st y / k D
53 41 52 eqtr4di φ x A B = y A -1 C