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Theorem sge0rnbnd

Description: The range used in the definition of sum^ is bounded, when the whole sum is a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020)

Ref Expression
Hypotheses sge0rnbnd.x φ X V
sge0rnbnd.f φ F : X 0 +∞
sge0rnbnd.re φ sum^ F
Assertion sge0rnbnd φ z w ran x 𝒫 X Fin y x F y w z

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 sge0rnbnd.x φ X V
2 sge0rnbnd.f φ F : X 0 +∞
3 sge0rnbnd.re φ sum^ F
4 simpl φ w ran x 𝒫 X Fin y x F y φ
5 vex w V
6 eqid x 𝒫 X Fin y x F y = x 𝒫 X Fin y x F y
7 6 elrnmpt w V w ran x 𝒫 X Fin y x F y x 𝒫 X Fin w = y x F y
8 5 7 ax-mp w ran x 𝒫 X Fin y x F y x 𝒫 X Fin w = y x F y
9 8 biimpi w ran x 𝒫 X Fin y x F y x 𝒫 X Fin w = y x F y
10 9 adantl φ w ran x 𝒫 X Fin y x F y x 𝒫 X Fin w = y x F y
11 simp3 φ x 𝒫 X Fin w = y x F y w = y x F y
12 1 adantr φ x 𝒫 X Fin X V
13 2 adantr φ x 𝒫 X Fin F : X 0 +∞
14 1 2 3 sge0rern φ ¬ +∞ ran F
15 14 adantr φ x 𝒫 X Fin ¬ +∞ ran F
16 13 15 fge0iccico φ x 𝒫 X Fin F : X 0 +∞
17 elpwinss x 𝒫 X Fin x X
18 17 adantl φ x 𝒫 X Fin x X
19 elinel2 x 𝒫 X Fin x Fin
20 19 adantl φ x 𝒫 X Fin x Fin
21 12 16 18 20 fsumlesge0 φ x 𝒫 X Fin y x F y sum^ F
22 21 3adant3 φ x 𝒫 X Fin w = y x F y y x F y sum^ F
23 11 22 eqbrtrd φ x 𝒫 X Fin w = y x F y w sum^ F
24 23 3exp φ x 𝒫 X Fin w = y x F y w sum^ F
25 24 rexlimdv φ x 𝒫 X Fin w = y x F y w sum^ F
26 4 10 25 sylc φ w ran x 𝒫 X Fin y x F y w sum^ F
27 26 ralrimiva φ w ran x 𝒫 X Fin y x F y w sum^ F
28 brralrspcev sum^ F w ran x 𝒫 X Fin y x F y w sum^ F z w ran x 𝒫 X Fin y x F y w z
29 3 27 28 syl2anc φ z w ran x 𝒫 X Fin y x F y w z