Theorem 3factsumint2

Description: Move constants out of integrals or sums and/or commute sum and integral. (Contributed by metakunt, 26-Apr-2024)

	Ref	Expression
Hypotheses	3factsumint2.1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐹 ∈ ℂ )
	3factsumint2.2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) → 𝐺 ∈ ℂ )
	3factsumint2.3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐻 ∈ ℂ )
Assertion	3factsumint2	⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑘 ∈ 𝐵 ∫ 𝐴 ( 𝐹 · ( 𝐺 · 𝐻 ) ) d 𝑥 = Σ 𝑘 ∈ 𝐵 ∫ 𝐴 ( 𝐺 · ( 𝐹 · 𝐻 ) ) d 𝑥 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3factsumint2.1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐹 ∈ ℂ )
2		3factsumint2.2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) → 𝐺 ∈ ℂ )
3		3factsumint2.3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐻 ∈ ℂ )
4	1	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐹 ∈ ℂ )
5	2	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐺 ∈ ℂ )
6		ancom	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ↔ ( 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) )
7	6	anbi2i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ) )
8		anass	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ) )
9	8	bicomi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) )
10	7 9	bitri	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) )
11	10	imbi1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐻 ∈ ℂ ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐻 ∈ ℂ ) )
12	3 11	mpbi	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐻 ∈ ℂ )
13	4 5 12	mul12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐹 · ( 𝐺 · 𝐻 ) ) = ( 𝐺 · ( 𝐹 · 𝐻 ) ) )
14	13	itgeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) → ∫ 𝐴 ( 𝐹 · ( 𝐺 · 𝐻 ) ) d 𝑥 = ∫ 𝐴 ( 𝐺 · ( 𝐹 · 𝐻 ) ) d 𝑥 )
15	14	sumeq2dv	⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑘 ∈ 𝐵 ∫ 𝐴 ( 𝐹 · ( 𝐺 · 𝐻 ) ) d 𝑥 = Σ 𝑘 ∈ 𝐵 ∫ 𝐴 ( 𝐺 · ( 𝐹 · 𝐻 ) ) d 𝑥 )