Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ac6c4.1 |
⊢ 𝐴 ∈ V |
2 |
|
ac6c4.2 |
⊢ 𝐵 ∈ V |
3 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑧 𝐵 ≠ ∅ |
4 |
|
nfcsb1v |
⊢ Ⅎ 𝑥 ⦋ 𝑧 / 𝑥 ⦌ 𝐵 |
5 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑥 ∅ |
6 |
4 5
|
nfne |
⊢ Ⅎ 𝑥 ⦋ 𝑧 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ≠ ∅ |
7 |
|
csbeq1a |
⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → 𝐵 = ⦋ 𝑧 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ) |
8 |
7
|
neeq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝐵 ≠ ∅ ↔ ⦋ 𝑧 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ≠ ∅ ) ) |
9 |
3 6 8
|
cbvralw |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ ↔ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ⦋ 𝑧 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ≠ ∅ ) |
10 |
|
n0 |
⊢ ( ⦋ 𝑧 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑦 𝑦 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ) |
11 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑦 𝑧 ∈ 𝐴 |
12 |
|
nfre1 |
⊢ Ⅎ 𝑦 ∃ 𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 𝑦 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥 ⦌ 𝐵 |
13 |
4
|
nfel2 |
⊢ Ⅎ 𝑥 𝑦 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥 ⦌ 𝐵 |
14 |
7
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ) ) |
15 |
13 14
|
rspce |
⊢ ( ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵 ) |
16 |
|
eliun |
⊢ ( 𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵 ) |
17 |
15 16
|
sylibr |
⊢ ( ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ) → 𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ) |
18 |
|
rspe |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ) → ∃ 𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 𝑦 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ) |
19 |
17 18
|
sylancom |
⊢ ( ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ) → ∃ 𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 𝑦 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ) |
20 |
19
|
ex |
⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐴 → ( 𝑦 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥 ⦌ 𝐵 → ∃ 𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 𝑦 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ) ) |
21 |
11 12 20
|
exlimd |
⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐴 → ( ∃ 𝑦 𝑦 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥 ⦌ 𝐵 → ∃ 𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 𝑦 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ) ) |
22 |
10 21
|
syl5bi |
⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐴 → ( ⦋ 𝑧 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ≠ ∅ → ∃ 𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 𝑦 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ) ) |
23 |
22
|
ralimia |
⊢ ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ⦋ 𝑧 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ≠ ∅ → ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 𝑦 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ) |
24 |
9 23
|
sylbi |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 𝑦 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ) |
25 |
1 2
|
iunex |
⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V |
26 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑦 = ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) → ( 𝑦 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ↔ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ) ) |
27 |
1 25 26
|
ac6 |
⊢ ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 𝑦 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥 ⦌ 𝐵 → ∃ 𝑓 ( 𝑓 : 𝐴 ⟶ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ) ) |
28 |
|
ffn |
⊢ ( 𝑓 : 𝐴 ⟶ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝑓 Fn 𝐴 ) |
29 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑧 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐵 |
30 |
4
|
nfel2 |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥 ⦌ 𝐵 |
31 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ) |
32 |
31 7
|
eleq12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐵 ↔ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ) ) |
33 |
29 30 32
|
cbvralw |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐵 ↔ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ) |
34 |
33
|
biimpri |
⊢ ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥 ⦌ 𝐵 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐵 ) |
35 |
28 34
|
anim12i |
⊢ ( ( 𝑓 : 𝐴 ⟶ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ) → ( 𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐵 ) ) |
36 |
35
|
eximi |
⊢ ( ∃ 𝑓 ( 𝑓 : 𝐴 ⟶ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ) → ∃ 𝑓 ( 𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐵 ) ) |
37 |
24 27 36
|
3syl |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∃ 𝑓 ( 𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐵 ) ) |