Theorem adjeu

Description: Elementhood in the domain of the adjoint function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015) (Revised by Mario Carneiro, 24-Dec-2016) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	adjeu	⊢ ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ → ( 𝑇 ∈ dom adjℎ ↔ ∃! 𝑢 ∈ ( ℋ ↑m ℋ ) ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑇 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hilex	⊢ ℋ ∈ V
2		fex2	⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ℋ ∈ V ∧ ℋ ∈ V ) → 𝑇 ∈ V )
3	1 1 2	mp3an23	⊢ ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ → 𝑇 ∈ V )
4		feq1	⊢ ( 𝑡 = 𝑇 → ( 𝑡 : ℋ ⟶ ℋ ↔ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) )
5		fveq1	⊢ ( 𝑡 = 𝑇 → ( 𝑡 ‘ 𝑦 ) = ( 𝑇 ‘ 𝑦 ) )
6	5	oveq2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑇 → ( 𝑥 ·ih ( 𝑡 ‘ 𝑦 ) ) = ( 𝑥 ·ih ( 𝑇 ‘ 𝑦 ) ) )
7	6	eqeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑇 → ( ( 𝑥 ·ih ( 𝑡 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ↔ ( 𝑥 ·ih ( 𝑇 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ) )
8	7	2ralbidv	⊢ ( 𝑡 = 𝑇 → ( ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑡 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑇 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ) )
9	4 8	3anbi13d	⊢ ( 𝑡 = 𝑇 → ( ( 𝑡 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑢 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑡 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ) ↔ ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑢 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑇 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ) ) )
10		3anass	⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑢 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑇 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ) ↔ ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 𝑢 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑇 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ) ) )
11	9 10	syl6bb	⊢ ( 𝑡 = 𝑇 → ( ( 𝑡 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑢 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑡 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ) ↔ ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 𝑢 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑇 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ) ) ) )
12	11	exbidv	⊢ ( 𝑡 = 𝑇 → ( ∃ 𝑢 ( 𝑡 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑢 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑡 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ) ↔ ∃ 𝑢 ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 𝑢 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑇 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ) ) ) )
13		19.42v	⊢ ( ∃ 𝑢 ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 𝑢 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑇 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ) ) ↔ ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ∃ 𝑢 ( 𝑢 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑇 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ) ) )
14	12 13	syl6bb	⊢ ( 𝑡 = 𝑇 → ( ∃ 𝑢 ( 𝑡 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑢 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑡 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ) ↔ ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ∃ 𝑢 ( 𝑢 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑇 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ) ) ) )
15		dfadj2	⊢ adjℎ = { ⟨ 𝑡 , 𝑢 ⟩ ∣ ( 𝑡 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑢 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑡 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ) }
16	15	dmeqi	⊢ dom adjℎ = dom { ⟨ 𝑡 , 𝑢 ⟩ ∣ ( 𝑡 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑢 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑡 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ) }
17		dmopab	⊢ dom { ⟨ 𝑡 , 𝑢 ⟩ ∣ ( 𝑡 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑢 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑡 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ) } = { 𝑡 ∣ ∃ 𝑢 ( 𝑡 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑢 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑡 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ) }
18	16 17	eqtri	⊢ dom adjℎ = { 𝑡 ∣ ∃ 𝑢 ( 𝑡 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑢 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑡 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ) }
19	14 18	elab2g	⊢ ( 𝑇 ∈ V → ( 𝑇 ∈ dom adjℎ ↔ ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ∃ 𝑢 ( 𝑢 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑇 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ) ) ) )
20	19	baibd	⊢ ( ( 𝑇 ∈ V ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝑇 ∈ dom adjℎ ↔ ∃ 𝑢 ( 𝑢 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑇 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ) ) )
21	3 20	mpancom	⊢ ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ → ( 𝑇 ∈ dom adjℎ ↔ ∃ 𝑢 ( 𝑢 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑇 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ) ) )
22		df-reu	⊢ ( ∃! 𝑢 ∈ ( ℋ ↑m ℋ ) ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑇 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ↔ ∃! 𝑢 ( 𝑢 ∈ ( ℋ ↑m ℋ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑇 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ) )
23	1 1	elmap	⊢ ( 𝑢 ∈ ( ℋ ↑m ℋ ) ↔ 𝑢 : ℋ ⟶ ℋ )
24	23	anbi1i	⊢ ( ( 𝑢 ∈ ( ℋ ↑m ℋ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑇 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ) ↔ ( 𝑢 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑇 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ) )
25	24	eubii	⊢ ( ∃! 𝑢 ( 𝑢 ∈ ( ℋ ↑m ℋ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑇 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ) ↔ ∃! 𝑢 ( 𝑢 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑇 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ) )
26		adjmo	⊢ ∃* 𝑢 ( 𝑢 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑇 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) )
27		df-eu	⊢ ( ∃! 𝑢 ( 𝑢 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑇 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ) ↔ ( ∃ 𝑢 ( 𝑢 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑇 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ) ∧ ∃* 𝑢 ( 𝑢 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑇 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ) ) )
28	26 27	mpbiran2	⊢ ( ∃! 𝑢 ( 𝑢 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑇 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ) ↔ ∃ 𝑢 ( 𝑢 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑇 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ) )
29	22 25 28	3bitri	⊢ ( ∃! 𝑢 ∈ ( ℋ ↑m ℋ ) ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑇 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ↔ ∃ 𝑢 ( 𝑢 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑇 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ) )
30	21 29	bitr4di	⊢ ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ → ( 𝑇 ∈ dom adjℎ ↔ ∃! 𝑢 ∈ ( ℋ ↑m ℋ ) ∀ 𝑥 ∈ ℋ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ( 𝑥 ·ih ( 𝑇 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝑢 ‘ 𝑥 ) ·ih 𝑦 ) ) )