Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ax-icn |
⊢ i ∈ ℂ |
2 |
|
atandm2 |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan ↔ ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ≠ 0 ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ≠ 0 ) ) |
3 |
2
|
simp1bi |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ ) |
4 |
|
mulneg2 |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ) → ( i · - 𝐴 ) = - ( i · 𝐴 ) ) |
5 |
1 3 4
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( i · - 𝐴 ) = - ( i · 𝐴 ) ) |
6 |
5
|
oveq2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( 1 − ( i · - 𝐴 ) ) = ( 1 − - ( i · 𝐴 ) ) ) |
7 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
8 |
|
mulcl |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ) → ( i · 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
9 |
1 3 8
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( i · 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
10 |
|
subneg |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( i · 𝐴 ) ∈ ℂ ) → ( 1 − - ( i · 𝐴 ) ) = ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) |
11 |
7 9 10
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( 1 − - ( i · 𝐴 ) ) = ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) |
12 |
6 11
|
eqtrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( 1 − ( i · - 𝐴 ) ) = ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) |
13 |
12
|
fveq2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( log ‘ ( 1 − ( i · - 𝐴 ) ) ) = ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) |
14 |
5
|
oveq2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( 1 + ( i · - 𝐴 ) ) = ( 1 + - ( i · 𝐴 ) ) ) |
15 |
|
negsub |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( i · 𝐴 ) ∈ ℂ ) → ( 1 + - ( i · 𝐴 ) ) = ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) |
16 |
7 9 15
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( 1 + - ( i · 𝐴 ) ) = ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) |
17 |
14 16
|
eqtrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( 1 + ( i · - 𝐴 ) ) = ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) |
18 |
17
|
fveq2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( log ‘ ( 1 + ( i · - 𝐴 ) ) ) = ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) |
19 |
13 18
|
oveq12d |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( log ‘ ( 1 − ( i · - 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · - 𝐴 ) ) ) ) = ( ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) |
20 |
|
subcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( i · 𝐴 ) ∈ ℂ ) → ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
21 |
7 9 20
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
22 |
2
|
simp2bi |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ≠ 0 ) |
23 |
21 22
|
logcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ∈ ℂ ) |
24 |
|
addcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( i · 𝐴 ) ∈ ℂ ) → ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
25 |
7 9 24
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
26 |
2
|
simp3bi |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ≠ 0 ) |
27 |
25 26
|
logcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ∈ ℂ ) |
28 |
23 27
|
negsubdi2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → - ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) = ( ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) |
29 |
19 28
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( log ‘ ( 1 − ( i · - 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · - 𝐴 ) ) ) ) = - ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) |
30 |
29
|
oveq2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( i / 2 ) · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · - 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · - 𝐴 ) ) ) ) ) = ( ( i / 2 ) · - ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
31 |
|
halfcl |
⊢ ( i ∈ ℂ → ( i / 2 ) ∈ ℂ ) |
32 |
1 31
|
ax-mp |
⊢ ( i / 2 ) ∈ ℂ |
33 |
23 27
|
subcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
34 |
|
mulneg2 |
⊢ ( ( ( i / 2 ) ∈ ℂ ∧ ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ∈ ℂ ) → ( ( i / 2 ) · - ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) = - ( ( i / 2 ) · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
35 |
32 33 34
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( i / 2 ) · - ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) = - ( ( i / 2 ) · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
36 |
30 35
|
eqtrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( i / 2 ) · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · - 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · - 𝐴 ) ) ) ) ) = - ( ( i / 2 ) · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
37 |
|
atandmneg |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → - 𝐴 ∈ dom arctan ) |
38 |
|
atanval |
⊢ ( - 𝐴 ∈ dom arctan → ( arctan ‘ - 𝐴 ) = ( ( i / 2 ) · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · - 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · - 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
39 |
37 38
|
syl |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( arctan ‘ - 𝐴 ) = ( ( i / 2 ) · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · - 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · - 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
40 |
|
atanval |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( arctan ‘ 𝐴 ) = ( ( i / 2 ) · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
41 |
40
|
negeqd |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → - ( arctan ‘ 𝐴 ) = - ( ( i / 2 ) · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
42 |
36 39 41
|
3eqtr4d |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( arctan ‘ - 𝐴 ) = - ( arctan ‘ 𝐴 ) ) |