Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
atcvrj1x.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
atcvrj1x.j |
⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
atcvrj1x.c |
⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
atcvrj1x.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
5 |
|
simpl3l |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑃 = 𝑅 ) → 𝑄 ≠ 𝑅 ) |
6 |
5
|
necomd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑃 = 𝑅 ) → 𝑅 ≠ 𝑄 ) |
7 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑃 = 𝑅 ) → 𝐾 ∈ HL ) |
8 |
|
simpl23 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑃 = 𝑅 ) → 𝑅 ∈ 𝐴 ) |
9 |
|
simpl22 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑃 = 𝑅 ) → 𝑄 ∈ 𝐴 ) |
10 |
2 3 4
|
atcvr2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑅 ≠ 𝑄 ↔ 𝑅 𝐶 ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) |
11 |
7 8 9 10
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑃 = 𝑅 ) → ( 𝑅 ≠ 𝑄 ↔ 𝑅 𝐶 ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) |
12 |
6 11
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑃 = 𝑅 ) → 𝑅 𝐶 ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) |
13 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑃 = 𝑅 → ( 𝑃 𝐶 ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ↔ 𝑅 𝐶 ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) |
14 |
13
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑃 = 𝑅 ) → ( 𝑃 𝐶 ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ↔ 𝑅 𝐶 ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) |
15 |
12 14
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑃 = 𝑅 ) → 𝑃 𝐶 ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) |
16 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) → 𝐾 ∈ HL ) |
17 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) |
18 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) → 𝑃 ≠ 𝑅 ) |
19 |
|
simpl3r |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) → 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) |
20 |
1 2 3 4
|
atcvrj1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → 𝑃 𝐶 ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) |
21 |
16 17 18 19 20
|
syl112anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) → 𝑃 𝐶 ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) |
22 |
15 21
|
pm2.61dane |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → 𝑃 𝐶 ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) |
23 |
22
|
3expia |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝑃 𝐶 ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) |
24 |
|
hlatl |
⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat ) |
25 |
24
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑃 𝐶 ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝐾 ∈ AtLat ) |
26 |
|
simplr1 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑃 𝐶 ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 ) |
27 |
|
eqid |
⊢ ( 0. ‘ 𝐾 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) |
28 |
27 4
|
atn0 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → 𝑃 ≠ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) |
29 |
25 26 28
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑃 𝐶 ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝑃 ≠ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) |
30 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑃 𝐶 ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
31 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 ) |
32 |
31 4
|
atbase |
⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
33 |
26 32
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑃 𝐶 ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
34 |
|
simplr2 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑃 𝐶 ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 ) |
35 |
|
simplr3 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑃 𝐶 ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 ) |
36 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑃 𝐶 ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝑃 𝐶 ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) |
37 |
31 2 27 3 4
|
atcvrj0 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑃 𝐶 ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑃 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ↔ 𝑄 = 𝑅 ) ) |
38 |
30 33 34 35 36 37
|
syl131anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑃 𝐶 ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑃 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ↔ 𝑄 = 𝑅 ) ) |
39 |
38
|
necon3bid |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑃 𝐶 ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑃 ≠ ( 0. ‘ 𝐾 ) ↔ 𝑄 ≠ 𝑅 ) ) |
40 |
29 39
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑃 𝐶 ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝑄 ≠ 𝑅 ) |
41 |
|
hllat |
⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat ) |
42 |
41
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑃 𝐶 ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝐾 ∈ Lat ) |
43 |
31 4
|
atbase |
⊢ ( 𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
44 |
34 43
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑃 𝐶 ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
45 |
31 4
|
atbase |
⊢ ( 𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
46 |
35 45
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑃 𝐶 ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
47 |
31 2
|
latjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
48 |
42 44 46 47
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑃 𝐶 ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
49 |
30 33 48
|
3jca |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑃 𝐶 ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) |
50 |
31 1 3
|
cvrle |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ 𝑃 𝐶 ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) |
51 |
49 50
|
sylancom |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑃 𝐶 ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) |
52 |
40 51
|
jca |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑃 𝐶 ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) |
53 |
52
|
ex |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑃 𝐶 ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) → ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) |
54 |
23 53
|
impbid |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ↔ 𝑃 𝐶 ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) |