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Theorem cdleme42e

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. (Contributed by NM, 8-Mar-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdleme41.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdleme41.l = ( le ‘ 𝐾 )
cdleme41.j = ( join ‘ 𝐾 )
cdleme41.m = ( meet ‘ 𝐾 )
cdleme41.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdleme41.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdleme41.u 𝑈 = ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 )
cdleme41.d 𝐷 = ( ( 𝑠 𝑈 ) ( 𝑄 ( ( 𝑃 𝑠 ) 𝑊 ) ) )
cdleme41.e 𝐸 = ( ( 𝑡 𝑈 ) ( 𝑄 ( ( 𝑃 𝑡 ) 𝑊 ) ) )
cdleme41.g 𝐺 = ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝐸 ( ( 𝑠 𝑡 ) 𝑊 ) ) )
cdleme41.i 𝐼 = ( 𝑦𝐵𝑡𝐴 ( ( ¬ 𝑡 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 ( 𝑃 𝑄 ) ) → 𝑦 = 𝐺 ) )
cdleme41.n 𝑁 = if ( 𝑠 ( 𝑃 𝑄 ) , 𝐼 , 𝐷 )
cdleme41.o 𝑂 = ( 𝑧𝐵𝑠𝐴 ( ( ¬ 𝑠 𝑊 ∧ ( 𝑠 ( 𝑥 𝑊 ) ) = 𝑥 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ( 𝑥 𝑊 ) ) ) )
cdleme41.f 𝐹 = ( 𝑥𝐵 ↦ if ( ( 𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑥 𝑊 ) , 𝑂 , 𝑥 ) )
cdleme34e.v 𝑉 = ( ( 𝑅 𝑆 ) 𝑊 )
Assertion cdleme42e ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ) ∧ 𝑃𝑄 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑅 𝑉 ) ) = ( 𝑅 / 𝑠 𝑁 ( ( 𝑅 𝑉 ) 𝑊 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme41.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdleme41.l = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdleme41.j = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdleme41.m = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdleme41.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdleme41.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdleme41.u 𝑈 = ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 )
8 cdleme41.d 𝐷 = ( ( 𝑠 𝑈 ) ( 𝑄 ( ( 𝑃 𝑠 ) 𝑊 ) ) )
9 cdleme41.e 𝐸 = ( ( 𝑡 𝑈 ) ( 𝑄 ( ( 𝑃 𝑡 ) 𝑊 ) ) )
10 cdleme41.g 𝐺 = ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝐸 ( ( 𝑠 𝑡 ) 𝑊 ) ) )
11 cdleme41.i 𝐼 = ( 𝑦𝐵𝑡𝐴 ( ( ¬ 𝑡 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 ( 𝑃 𝑄 ) ) → 𝑦 = 𝐺 ) )
12 cdleme41.n 𝑁 = if ( 𝑠 ( 𝑃 𝑄 ) , 𝐼 , 𝐷 )
13 cdleme41.o 𝑂 = ( 𝑧𝐵𝑠𝐴 ( ( ¬ 𝑠 𝑊 ∧ ( 𝑠 ( 𝑥 𝑊 ) ) = 𝑥 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ( 𝑥 𝑊 ) ) ) )
14 cdleme41.f 𝐹 = ( 𝑥𝐵 ↦ if ( ( 𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑥 𝑊 ) , 𝑂 , 𝑥 ) )
15 cdleme34e.v 𝑉 = ( ( 𝑅 𝑆 ) 𝑊 )
16 simp1 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ) ∧ 𝑃𝑄 ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) )
17 simp11l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ) ∧ 𝑃𝑄 ) → 𝐾 ∈ HL )
18 17 hllatd ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ) ∧ 𝑃𝑄 ) → 𝐾 ∈ Lat )
19 simp2ll ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ) ∧ 𝑃𝑄 ) → 𝑅𝐴 )
20 1 5 atbase ( 𝑅𝐴𝑅𝐵 )
21 19 20 syl ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ) ∧ 𝑃𝑄 ) → 𝑅𝐵 )
22 simp11 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ) ∧ 𝑃𝑄 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
23 simp2rl ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ) ∧ 𝑃𝑄 ) → 𝑆𝐴 )
24 2 3 4 5 6 15 1 cdleme0aa ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴 ) → 𝑉𝐵 )
25 22 19 23 24 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ) ∧ 𝑃𝑄 ) → 𝑉𝐵 )
26 1 3 latjcl ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅𝐵𝑉𝐵 ) → ( 𝑅 𝑉 ) ∈ 𝐵 )
27 18 21 25 26 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ) ∧ 𝑃𝑄 ) → ( 𝑅 𝑉 ) ∈ 𝐵 )
28 simp3 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ) ∧ 𝑃𝑄 ) → 𝑃𝑄 )
29 simp2l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ) ∧ 𝑃𝑄 ) → ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) )
30 simp2r ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ) ∧ 𝑃𝑄 ) → ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) )
31 1 2 3 4 5 6 15 cdleme42c ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ) → ¬ ( 𝑅 𝑉 ) 𝑊 )
32 22 29 30 31 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ) ∧ 𝑃𝑄 ) → ¬ ( 𝑅 𝑉 ) 𝑊 )
33 28 32 jca ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ) ∧ 𝑃𝑄 ) → ( 𝑃𝑄 ∧ ¬ ( 𝑅 𝑉 ) 𝑊 ) )
34 1 2 3 4 5 6 15 cdleme42d ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ( ( 𝑅 𝑉 ) 𝑊 ) ) = ( 𝑅 𝑉 ) )
35 22 29 30 34 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ) ∧ 𝑃𝑄 ) → ( 𝑅 ( ( 𝑅 𝑉 ) 𝑊 ) ) = ( 𝑅 𝑉 ) )
36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 cdleme42b ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 𝑉 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ¬ ( 𝑅 𝑉 ) 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ( ( 𝑅 𝑉 ) 𝑊 ) ) = ( 𝑅 𝑉 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑅 𝑉 ) ) = ( 𝑅 / 𝑠 𝑁 ( ( 𝑅 𝑉 ) 𝑊 ) ) )
37 16 27 33 29 35 36 syl122anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ) ∧ 𝑃𝑄 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑅 𝑉 ) ) = ( 𝑅 / 𝑠 𝑁 ( ( 𝑅 𝑉 ) 𝑊 ) ) )