Theorem cdlemk6

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. Apply dalaw . (Contributed by NM, 25-Jun-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemk.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	cdlemk.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	cdlemk.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	cdlemk.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	cdlemk.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	cdlemk.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemk.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemk.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
Assertion	cdlemk6	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ≤ ( ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ∨ ( ( ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∨ ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		cdlemk.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3		cdlemk.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4		cdlemk.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5		cdlemk.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6		cdlemk.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
7		cdlemk.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8		cdlemk.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
9		simp31	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
10		simp32	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
11		simp33l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) )
12	9 10 11	3jca	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ) → ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) )
13	1 2 3 4 5 6 7 8	cdlemk5	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ≤ ( ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) )
14	12 13	syld3an3	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ≤ ( ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) )
15		simp11l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
16		simp22l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
17		simp11	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
18		simp13	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
19	2 4 5 6	ltrnat	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
20	17 18 16 19	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
21		simp21r	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ 𝑇 )
22	2 4 5 6	ltrnat	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
23	17 21 16 22	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ) → ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
24		simp21l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ) → 𝑁 ∈ 𝑇 )
25	2 4 5 6	ltrnat	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
26	17 24 16 25	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ) → ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
27		simp12	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ) → 𝐹 ∈ 𝑇 )
28	4 5 6 7	trlcocnvat	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∈ 𝐴 )
29	17 18 27 11 28	syl121anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∈ 𝐴 )
30		simp33r	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) )
31	4 5 6 7	trlcocnvat	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∈ 𝐴 )
32	17 21 27 30 31	syl121anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∈ 𝐴 )
33	2 3 8 4	dalaw	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ≤ ( ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ≤ ( ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ∨ ( ( ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∨ ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ) ) ) ) )
34	15 16 20 23 26 29 32 33	syl133anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ≤ ( ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ≤ ( ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ∨ ( ( ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∨ ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ) ) ) ) )
35	14 34	mpd	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ≤ ( ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ∨ ( ( ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∨ ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ) ) ) )