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Theorem cdlemk9bN

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. TODO: is this needed? If so, shorten with cdlemk9 if that one is also needed. (Contributed by NM, 28-Jun-2013) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemk.l = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemk.j = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemk.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemk.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemk.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk.m = ( meet ‘ 𝐾 )
Assertion cdlemk9bN ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( ( ( 𝐺𝑃 ) ( 𝑋𝑃 ) ) 𝑊 ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝑋 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemk.l = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemk.j = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemk.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 cdlemk.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6 cdlemk.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
7 cdlemk.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemk.m = ( meet ‘ 𝐾 )
9 1 2 3 4 5 6 7 8 cdlemk8 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( ( 𝐺𝑃 ) ( 𝑋𝑃 ) ) = ( ( 𝐺𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐺 ) ) ) )
10 9 oveq1d ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( ( ( 𝐺𝑃 ) ( 𝑋𝑃 ) ) 𝑊 ) = ( ( ( 𝐺𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐺 ) ) ) 𝑊 ) )
11 simp1 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
12 2 4 5 6 ltrnel ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( ( 𝐺𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝐺𝑃 ) 𝑊 ) )
13 12 3adant2r ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( ( 𝐺𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝐺𝑃 ) 𝑊 ) )
14 eqid ( 0. ‘ 𝐾 ) = ( 0. ‘ 𝐾 )
15 2 8 14 4 5 lhpmat ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝐺𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝐺𝑃 ) 𝑊 ) ) → ( ( 𝐺𝑃 ) 𝑊 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) )
16 11 13 15 syl2anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( ( 𝐺𝑃 ) 𝑊 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) )
17 16 oveq1d ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( ( ( 𝐺𝑃 ) 𝑊 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐺 ) ) ) = ( ( 0. ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐺 ) ) ) )
18 simp1l ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → 𝐾 ∈ HL )
19 simp2l ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → 𝐺𝑇 )
20 simp3l ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → 𝑃𝐴 )
21 2 4 5 6 ltrnat ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐺𝑇𝑃𝐴 ) → ( 𝐺𝑃 ) ∈ 𝐴 )
22 11 19 20 21 syl3anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( 𝐺𝑃 ) ∈ 𝐴 )
23 simp2r ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → 𝑋𝑇 )
24 5 6 ltrncnv ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐺𝑇 ) → 𝐺𝑇 )
25 11 19 24 syl2anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → 𝐺𝑇 )
26 5 6 ltrnco ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑋𝑇 𝐺𝑇 ) → ( 𝑋 𝐺 ) ∈ 𝑇 )
27 11 23 25 26 syl3anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( 𝑋 𝐺 ) ∈ 𝑇 )
28 1 5 6 7 trlcl ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑋 𝐺 ) ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐺 ) ) ∈ 𝐵 )
29 11 27 28 syl2anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐺 ) ) ∈ 𝐵 )
30 simp1r ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → 𝑊𝐻 )
31 1 5 lhpbase ( 𝑊𝐻𝑊𝐵 )
32 30 31 syl ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → 𝑊𝐵 )
33 2 5 6 7 trlle ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑋 𝐺 ) ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐺 ) ) 𝑊 )
34 11 27 33 syl2anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐺 ) ) 𝑊 )
35 1 2 3 8 4 atmod4i2 ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝐺𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐺 ) ) ∈ 𝐵𝑊𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐺 ) ) 𝑊 ) → ( ( ( 𝐺𝑃 ) 𝑊 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐺 ) ) ) = ( ( ( 𝐺𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐺 ) ) ) 𝑊 ) )
36 18 22 29 32 34 35 syl131anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( ( ( 𝐺𝑃 ) 𝑊 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐺 ) ) ) = ( ( ( 𝐺𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐺 ) ) ) 𝑊 ) )
37 hlol ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL )
38 18 37 syl ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → 𝐾 ∈ OL )
39 1 3 14 olj02 ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐺 ) ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 0. ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐺 ) ) ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐺 ) ) )
40 38 29 39 syl2anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( ( 0. ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐺 ) ) ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐺 ) ) )
41 5 6 7 trlcocnv ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐺𝑇𝑋𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝑋 ) ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐺 ) ) )
42 11 19 23 41 syl3anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝑋 ) ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐺 ) ) )
43 40 42 eqtr4d ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( ( 0. ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐺 ) ) ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝑋 ) ) )
44 17 36 43 3eqtr3d ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( ( ( 𝐺𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐺 ) ) ) 𝑊 ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝑋 ) ) )
45 10 44 eqtrd ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( ( ( 𝐺𝑃 ) ( 𝑋𝑃 ) ) 𝑊 ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝑋 ) ) )