Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdlemk.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
cdlemk.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
cdlemk.j |
⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
cdlemk.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
5 |
|
cdlemk.h |
⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 ) |
6 |
|
cdlemk.t |
⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
7 |
|
cdlemk.r |
⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
8 |
|
cdlemk.m |
⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 ) |
9 |
1 2 3 4 5 6 7 8
|
cdlemk8 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) = ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) ) |
10 |
9
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) ∧ 𝑊 ) = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) ∧ 𝑊 ) ) |
11 |
|
simp1 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ) |
12 |
2 4 5 6
|
ltrnel |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ 𝑊 ) ) |
13 |
12
|
3adant2r |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ 𝑊 ) ) |
14 |
|
eqid |
⊢ ( 0. ‘ 𝐾 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) |
15 |
2 8 14 4 5
|
lhpmat |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∧ 𝑊 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) |
16 |
11 13 15
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∧ 𝑊 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) |
17 |
16
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∧ 𝑊 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) = ( ( 0. ‘ 𝐾 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) ) |
18 |
|
simp1l |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
19 |
|
simp2l |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 ) |
20 |
|
simp3l |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 ) |
21 |
2 4 5 6
|
ltrnat |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ) |
22 |
11 19 20 21
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ) |
23 |
|
simp2r |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑋 ∈ 𝑇 ) |
24 |
5 6
|
ltrncnv |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) → ◡ 𝐺 ∈ 𝑇 ) |
25 |
11 19 24
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ◡ 𝐺 ∈ 𝑇 ) |
26 |
5 6
|
ltrnco |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ ◡ 𝐺 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ∈ 𝑇 ) |
27 |
11 23 25 26
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ∈ 𝑇 ) |
28 |
1 5 6 7
|
trlcl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ∈ 𝐵 ) |
29 |
11 27 28
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ∈ 𝐵 ) |
30 |
|
simp1r |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑊 ∈ 𝐻 ) |
31 |
1 5
|
lhpbase |
⊢ ( 𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵 ) |
32 |
30 31
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑊 ∈ 𝐵 ) |
33 |
2 5 6 7
|
trlle |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ≤ 𝑊 ) |
34 |
11 27 33
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ≤ 𝑊 ) |
35 |
1 2 3 8 4
|
atmod4i2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ≤ 𝑊 ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∧ 𝑊 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) ∧ 𝑊 ) ) |
36 |
18 22 29 32 34 35
|
syl131anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∧ 𝑊 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) ∧ 𝑊 ) ) |
37 |
|
hlol |
⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL ) |
38 |
18 37
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝐾 ∈ OL ) |
39 |
1 3 14
|
olj02 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 0. ‘ 𝐾 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) |
40 |
38 29 39
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 0. ‘ 𝐾 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) |
41 |
5 6 7
|
trlcocnv |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝑋 ) ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) |
42 |
11 19 23 41
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝑋 ) ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) |
43 |
40 42
|
eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 0. ‘ 𝐾 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝑋 ) ) ) |
44 |
17 36 43
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) ∧ 𝑊 ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝑋 ) ) ) |
45 |
10 44
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) ∧ 𝑊 ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝑋 ) ) ) |